Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique II PC — Partie II.B (Q22 à Q28) : Hygromètre capacitif : condensateur plan, dipôles de l'eau et permittivité relative

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Physique II PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

L'hygromètre est un condensateur : deux plaques métalliques planes de grande surface $S$ , en regard, séparées d'une épaisseur $e$ par un isolant, d'abord assimilé au vide (figure 6). Sous la tension $U_{0}$ , les faces en regard portent les charges surfaciques $\pm σ_{0}$ . Donnée : $ε_{0} = 8, 9 \times 1 0^{- 12} F \cdot m^{- 1}$ .

{Figure 6 — Hygromètre capacitif en l'absence d'humidité.}

Q22. Dimensions transverses très grandes devant $e$ : direction de $E$ dans l'isolant ; montrer que $E$ y est uniforme.
Q23. Par exemple par le théorème de Gauss, relier $σ_{0}$ , $E$ et $ε_{0}$ .
Q24. Calculer $U_{0}$ ; définir et exprimer la capacité $C_{0}$ .

En milieu humide, l'isolant contient des molécules d'eau, dipôles alignés sur $E$ (figure 7) : leurs charges se compensent en volume mais pas sur les faces de l'isolant, qui portent des charges de dépolarisation $\pm σ$ . On note $n_{p}$ la densité particulaire de dipôles et $p_{m} = p_{m} e_{z}$ leur moment moyen.

{Figure 7 — Hygromètre capacitif avec isolant humide.}

Q25. Exprimer le moment dipolaire total de l'isolant ( $n_{p}$ , $S$ , $e$ , $p_{m}$ ), puis $σ$ en fonction de $p_{m}$ et $n_{p}$ .

L'ensemble est thermostaté à $T_{0}$ : l'agitation thermique contrarie l'alignement. Énergie d'un dipôle $p$ dans $E$ : $E_{p} = - p \cdot E$ .

Q26. Limites de $p_{m}$ à très basse et très haute température ? Estimer la température de transition $T_{c}$ avec $p_{H_{2} O}$ , $k_{B}$ et $E$ .
Q27. Pour $T_{0} ≫ T_{c}$ , on admet $p_{m} = α ε_{0} E$ , $α > 0$ (polarisabilité). Unité de $α$ ?
Q28. En déduire $C = ε_{r} C_{0}$ et exprimer $ε_{r}$ en fonction de $α$ et $n_{p}$ .

Corrigé

Q22. Repérage. Coordonnées cartésiennes $(x, y, z)$ , $e_{z}$ normal aux plaques (vers le haut, figure 6) ; le point $M$ est dans l'isolant, loin des bords. Modèle : les dimensions transverses étant très grandes devant $e$ , on assimile les deux distributions de charge à des plans infinis uniformément chargés ( $+ σ_{0}$ en bas, $- σ_{0}$ en haut).

Symétries : les plans $(M, e_{x}, e_{z})$ et $(M, e_{y}, e_{z})$ , qui contiennent $M$ , sont des plans de symétrie de la distribution de charges ; le champ électrique (vecteur polaire) appartient à chacun d'eux, donc à leur intersection : $E (M) = E e_{z}$ . Invariances : la distribution est invariante par toute translation selon $e_{x}$ et $e_{y}$ : $E$ ne dépend que de $z$ . Donc $E = E (z) e_{z}$ , normal aux plaques.

Uniformité : l'isolant (assimilé au vide) ne contient pas de charge ; l'équation de Maxwell--Gauss y donne $div E = \frac{d E}{d z} = \frac{ρ}{ε _{0}} = 0$ : $E$ est indépendant de $z$ , le champ est uniforme dans l'isolant. Il est dirigé des charges positives vers les négatives, soit selon $+ e_{z}$ .

Q23. Champ d'un plan seul. Pour un plan $z = z_{1}$ portant $σ$ , les arguments de Q22 donnent $E = E (z) e_{z}$ , et le plan est lui-même plan de symétrie : $E (z_{1} + u) = - E (z_{1} - u)$ . Le théorème de Gauss appliqué à un cylindre fermé d'axe $e_{z}$ , de section $Σ$ , dont les bases sont symétriques par rapport au plan (flux nul à travers la surface latérale, car $E ∥ e_{z}$ ) donne $2 E Σ = σ Σ/ ε_{0}$ , soit un champ de norme $σ / (2 ε_{0})$ , qui s'éloigne du plan si $σ > 0$ .

Superposition. Entre les armatures, le plan $+ σ_{0}$ (en bas) crée $\frac{σ _{0}}{2 ε _{0}} e_{z}$ et le plan $- σ_{0}$ (en haut) crée aussi $\frac{σ _{0}}{2 ε _{0}} e_{z}$ (champ dirigé vers lui) : les contributions s'ajoutent. À l'extérieur, elles se compensent. Donc

$E = \frac{σ _{0}}{ε _{0}} e_{z} dans l’isolant, E = 0 a ˋ l’ext e ˊ rieur .$

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →