Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique II PC — Partie II.C (Q29 à Q35) : Orbite des satellites GPS et propagation du signal dans le plasma ionosphérique

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Physique II PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

La position des ballons-sondes est mesurée par GPS (la figure 8 est une photographie d'un satellite GPS, sans donnée utile). La Terre, de rayon $R_{T} = 6400 km$ , est immobile et à symétrie sphérique. Données : $e = 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ , $m_{e} = 9, 1 \times 1 0^{- 31} kg$ , $c = 3, 0 \times 1 0^{8} m \cdot s^{- 1}$ , $ε_{0} = 8, 9 \times 1 0^{- 12} F \cdot m^{- 1}$ , $(1/2)^{2/3} ≃ 0, 63$ .

Q29. Pour un satellite en orbite circulaire d'altitude $h$ , relier la période $T$ , $R_{T}$ , $h$ , $G$ et $M_{T}$ . Nom de cette relation ?
Q30. Les satellites GPS ont une orbite circulaire de période $12 h$ ; les géostationnaires sont à $36000 km$ d'altitude. Calculer $h_{GPS}$ .

Au moins quatre satellites sont visibles ; chacun émet un signal daté, et les instants de réception donnent les distances récepteur--satellites, donc la position. Entre $100$ et $800 km$ d'altitude, l'ionosphère est un plasma globalement neutre, de densité électronique $n_{e} ≃ 1 0^{12} m^{- 3}$ supposée constante.

Q31. Sans autre force qu'électromagnétique, écrire l'équation différentielle de la vitesse d'un électron dans le champ $(E, B)$ du signal (électron non relativiste). Pour une onde plane progressive descendant verticalement, $E = E_{0} exp [i (ω t + k z)]$ , de vitesses de phase $v_{φ}$ et de groupe $v_{g}$ proches de $c$ , en déduire une relation linéaire complexe entre la densité de courant électronique $j_{e}$ et $E$ .
Q32. Pourquoi négliger le courant ionique ? Établir la relation de dispersion $k^{2} c^{2} = ω^{2} - ω_{p}^{2}$ et exprimer $ω_{p}$ avec $e$ , $m_{e}$ , $ε_{0}$ , $n_{e}$ . On trouve $f_{p} = ω_{p} /2 π = 8, 9 MHz$ .
Q33. Les signaux GPS ont pour fréquences $f_{1} = 1, 2 GHz$ et $f_{2} = 1, 6 GHz$ . Exprimer $v_{φ}$ ; exprimer puis calculer l'erreur relative commise en prenant $v_{φ} = c$ .
Q34. Exprimer le retard dû à la traversée de la couche ionisée par rapport à une propagation dans le vide ; en déduire l'imprécision sur la distance récepteur--satellite (ordre de grandeur).
Q35. Intérêt d'utiliser deux fréquences pour corriger cette imprécision ?

Corrigé

Q29. Système : le satellite, de masse $m$ , assimilé à un point ; référentiel géocentrique, supposé galiléen (Terre immobile). Force : l'attraction gravitationnelle de la Terre (à symétrie sphérique, elle agit comme si sa masse était concentrée en son centre), $F = - \frac{G M _{T} m}{r ^{2}} e_{r}$ , avec $r = R_{T} + h$ . En mouvement circulaire, la force étant centrale, le mouvement est uniforme ; l'accélération est centripète, $a = - \frac{v ^{2}}{r} e_{r}$ . Le principe fondamental de la dynamique projeté sur $e_{r}$ donne

$\frac{v ^{2}}{r} = \frac{G M _{T}}{r ^{2}} ⟹ v = \frac{G M _{T}}{R _{T} + h}, T = \frac{2 π ( R _{T} + h )}{v},$

$\frac{T ^{2}}{( R _{T} + h ) ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{G M _{T}} .$

C'est la troisième loi de Kepler : $T^{2} / r^{3}$ est le même pour tous les satellites de la Terre.

Q30. La troisième loi de Kepler appliquée aux satellites GPS et géostationnaires élimine $G M_{T}$ , non fourni :

$\frac{( R _{T} + h _{GPS} ) ^{3}}{T _{GPS}^{2}} = \frac{( R _{T} + h _{geo} ) ^{3}}{T _{geo}^{2}} ⟹ h_{GPS} = (R_{T} + h_{geo}) (\frac{T _{GPS}}{T _{geo}})^{2/3} - R_{T} .$

Le satellite géostationnaire tourne avec la Terre : $T_{geo} = 24 h$ (un jour sidéral, $23 h 56 min$ ; les satellites GPS font exactement deux tours par jour sidéral), donc $T_{GPS} / T_{geo} = 1/2$ et

$h_{GPS} = 42400 \times 0, 63 - 6400 km = 26700 - 6400 km ≃ 2, 0 \times 1 0^{4} km .$

Les satellites GPS orbitent à environ $20000 km$ d'altitude, bien au-dessus de l'ionosphère.

Q31. Système : un électron (masse $m_{e}$ , charge $- e$ ) de l'ionosphère ; référentiel terrestre galiléen ; seule la force de Lorentz agit (poids et collisions négligés). Principe fondamental de la dynamique :

$m_{e} \frac{d v}{d t} = - e (E + v \land B) .$

Simplifications. Pour une onde plane progressive de vitesse de phase voisine de $c$ , $B ≃ E / c$ , donc $\frac{v \land B}{E} ≲ \frac{v}{c} ≪ 1$ : l'électron non relativiste subit une force magnétique négligeable devant la force électrique. De plus l'amplitude de son mouvement est petite devant la longueur d'onde, de sorte que $E$ est évalué en un point fixe et $d v / d t ≃ \partial v / \partial t$ . En régime sinusoïdal forcé, en notation complexe ( $\partial / \partial t \to i ω$ ) :

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