Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique II PC — Parties I.A et I.B (Q1 à Q9) : Atmosphère en équilibre hydrostatique et stabilité verticale (fréquence de Brunt-Väisälä)

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Physique II PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Air : mélange idéal de gaz parfaits ( $M_{air} = 29 g/mol$ , $γ_{air} = 1, 4$ ) en équilibre dans le champ de pesanteur. Dans la troposphère, $T$ décroît linéairement de $T_{0} = 2 7^{\circ} C$ au sol à $T_{h} = - 6 4^{\circ} C$ en $h = 14 km$ . Données : $g_{0} = 9, 8 m/ s^{2}$ , $R_{T} = 6400 km$ , $R = 8, 3$ SI, $P_{0} = 1 bar$ , $(210/300)^{5} ≃ 0, 15$ .

I.A — Pesanteur et pression en altitude.

Q1. Terre à symétrie sphérique : montrer que $g$ varie de moins de $0, 5%$ dans la troposphère.

Ensuite $g$ est uniforme, $(O z)$ vertical ascendant depuis le sol, $T (z) = T_{0} (1 - Γ z)$ ; la colonne d'air au-dessus de $z$ est en équilibre (figure 1).

{Figure 1 — Équilibre d'une colonne d'air.}

Q2. Relier $P (z)$ à $ρ (z^{'})$ par une intégrale, puis établir $\frac{d P}{P} = - \frac{1}{1 - z / H _{1}} \frac{d z}{H _{0}}$ ; exprimer et calculer $H_{0}$ et $H_{1}$ .
Q3. Montrer que $P (z) = P_{0} (1 - z / H_{1})^{k}$ , déterminer $k$ et calculer $P (h)$ .

I.B — Stabilité d'une atmosphère sans vent.

De l'air (volume $V_{0}$ en $z_{0}$ ) monte vite en $z$ et y prend la pression ambiante (figure 2), de façon adiabatique réversible. On note $1/ h_{air} = - ρ^{- 1} d ρ / d z$ pour l'atmosphère, $1/ h_{S}$ l'analogue pour l'air déplacé.

{Figure 2 — Évolution rapide d'une certaine quantité d'air.}

Q4. Résultante du poids et des forces de pression sur $V$ .
Q5. Équation de $z (t)$ ; l'air arrivé plus froid redescend-il ? Stabilité ?
Q6. Au premier ordre en $z - z_{0}$ , établir l'équation de Brunt--Väisälä $z ¨ + N^{2} z = cte$ , $N^{2} = g (\frac{1}{h _{air}} - \frac{1}{h _{S}})$ .

Désormais $T (z) = T_{0} (1 - Γ z)$ et $P (z) = P_{0} (1 - Γ z)^{k}$ , avec $T_{0} = 300 K$ , $P_{0} = 1 bar$ , $1/Γ = 48 km$ , $k = 5$ .

Q7. Exprimer $h_{air}$ en fonction de $k$ , $Γ$ et $T (z) / T_{0}$ .
Q8. Loi de l'adiabatique réversible entre $P$ , $ρ$ , $P_{0}$ , $ρ_{0}$ ; en déduire $h_{S} (γ, k, Γ, T / T_{0})$ .
Q9. Conclure sur la stabilité verticale de l'atmosphère.

Corrigé

Q1. Champ de gravitation d'un astre à symétrie sphérique. Pour un point $M$ à la distance $r ⩾ R_{T}$ du centre $O$ , tout plan contenant $O$ et $M$ est plan de symétrie de la distribution de masse : $G (M) = G (r) e_{r}$ (invariance par rotation autour de $O$ ). Le théorème de Gauss gravitationnel sur la sphère de centre $O$ et de rayon $r$ donne $4 π r^{2} G (r) = - 4 π G M_{T}$ , soit

$g (z) = \frac{G M _{T}}{( R _{T} + z ) ^{2}} = \frac{g _{0}}{( 1 + z / R _{T} ) ^{2}} avec g_{0} = \frac{G M _{T}}{R _{T}^{2}} .$

Comme $z ⩽ h ≪ R_{T}$ , au premier ordre : $\frac{g _{0} - g ( z )}{g _{0}} ≃ \frac{2 z}{R _{T}} ⩽ \frac{2 h}{R _{T}} = \frac{2 \times 14}{6 400} = 4, 4 \times 1 0^{- 3}$ . Le calcul exact, $1 - (6 400/6 414)^{2} = 4, 4 \times 1 0^{- 3}$ , confirme : la variation relative de $g$ dans toute la troposphère est inférieure à $0, 5%$ . (On néglige ici l'effet de la rotation terrestre, qui ne dépend presque pas de $z$ .) Ce que le correcteur attend : une expression justifiée de $g (z)$ (théorème de Gauss ou loi de Newton), pas la statique des fluides, et une majoration, pas une égalité.

Q2. Système : la colonne d'air de section $S$ située au-dessus de l'altitude $z$ ; référentiel terrestre supposé galiléen ; équilibre. Forces verticales : le poids $- (\int_{z}^{+ \infty} ρ (z^{'}) S d z^{'}) g e_{z}$ (la tranche $[z^{'}, z^{'} + d z^{'}]$ a la masse $ρ (z^{'}) S d z^{'}$ ) ; la force de pression $+ P (z) S e_{z}$ sur la base ; la pression au sommet de l'atmosphère est nulle ; les forces de pression latérales sont horizontales et se compensent. D'où la relation intégrale

$P (z) = g \int_{z}^{+ \infty} ρ (z^{'}) d z^{'} .$

En dérivant par rapport à $z$ : $\frac{d P}{d z} = - ρ (z) g$ (relation fondamentale de la statique des fluides). L'air est un gaz parfait : $ρ = \frac{P M _{air}}{R T}$ , donc

$\frac{d P}{P} = - \frac{M _{air} g}{R T _{0} ( 1 - Γ z )} d z = - \frac{1}{1 - z / H _{1}} \frac{d z}{H _{0}}, H_{0} = \frac{R T _{0}}{M _{air} g}, H_{1} = \frac{1}{Γ} .$

Application numérique. $T_{0} = 300 K$ , $T_{h} = 209 K$ ; de $T_{h} = T_{0} (1 - Γ h)$ on tire $Γ = \frac{T _{0} - T _{h}}{T _{0} h}$ , d'où

$H_{1} = \frac{T _{0} h}{T _{0} - T _{h}} = \frac{300 \times 14}{91} km = 46 km,$

$H_{0} = \frac{8 , 3 \times 300}{29 \times 1 0 ^{- 3} \times 9 , 8} m = 8, 8 \times 1 0^{3} m = 8, 8 km .$

Ce que le correcteur attend : la masse molaire en $kg \cdot mo l^{- 1}$ (le jury signale un facteur $1000$ fréquent sur $H_{0}$ ).

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