Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique II PC — Parties I.C et I.D (Q10 à Q17) : Forces sur un ballon-sonde, loi de Jurin-Laplace et rayon d'un ballon élastique en altitude

Q10. On cherche $F_v=K{\rho }_{\mathrm{air}}^a{v}^b{R}^c$ avec $K$ sans dimension. En dimensions, $\mathrm{M}\mathrm{L}{\mathrm{T}}^{-2}={\mathrm{M}}^a{\mathrm{L}}^{-3a}{\mathrm{L}}^b{\mathrm{T}}^{-b}{\mathrm{L}}^c$, d'où $a=1$, $b=2$, puis $-3a+b+c=1$, soit $c=2$ :

$$\boxed{F_v=K{\rho }_{\mathrm{air}}{v}^2{R}^2.}$$

C'est la forme de la traînée aux grands nombres de Reynolds, $F_v=\frac{1}{2}{C}_x{\rho }_{\mathrm{air}}\pi R^2{v}^2$, avec un coefficient de traînée $C_x$ de l'ordre de $0,5$ pour une sphère : $K=\pi C_x/2$ est de l'ordre de $1$. (Le nombre de Reynolds, $Rv/\nu \sim 1\times 30/(1,5\times 10^{-5})\sim 10^6$ au moins, avec $\nu \simeq 1,5\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ pour l'air, justifie ce régime inertiel.)

Q11. L'hélium est en équilibre thermique ($T$) et mécanique ($P$) avec l'air ; à mêmes $P$ et $T$, deux gaz parfaits ont des masses volumiques dans le rapport de leurs masses molaires : ${\rho }_{\mathrm{He}}=d{\rho }_{\mathrm{air}}$. Le poids du ballon est celui de l'hélium qu'il contient (masse de l'enveloppe négligée) : $\Pi =\frac{4}{3}\pi R^{3}d{\rho }_{\mathrm{air}}g$. Donc

$$\boxed{x=\frac{F_v}{\Pi }=\frac{K{\rho }_{\mathrm{air}}{v}^2{R}^2}{\frac{4}{3}\pi R^{3}d{\rho }_{\mathrm{air}}g}=\frac{3K{v}^2}{4\pi dgR}.}$$

La masse volumique ${\rho }_{\mathrm{air}}$ se simplifie : $x$ ne dépend pas de l'altitude. La force du vent l'emporte ($x>1$) si

$$\boxed{R<R_c=\frac{3K{v}^2}{4\pi dg}.}$$

Ordre de grandeur ($K\simeq 1$, $v=120/3,6=33\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$, $d=4/29=0,14$) : $R_c=\frac{3\times 33^2}{4\pi \times 0,14\times 9,8}\mathrm{m}\simeq 2\times 10^2\mathrm{m}$. Conclusion : tous les ballons réels (quelques mètres, $25\mathrm{m}$ pour le record) ont $R\ll R_c$ : la force du vent est prépondérante, d'autant plus que le ballon est petit ($x\propto 1/R$, car le poids croît comme $R^3$ et la traînée comme $R^2$). Le ballon est entraîné par le vent, jusqu'à se déplacer horizontalement à sa vitesse (vitesse relative nulle) : c'est ce qui permet de mesurer les vents en suivant les ballons-sondes. Ce que le correcteur attend : la dépendance en $R^3$ du poids (le jury signale des inégalités incohérentes faute de l'avoir vue) et le bon sens de la conclusion : petit ballon, vent dominant. (Si l'on comptait dans $\Pi$ toute la masse d'un ballon à l'équilibre vertical, $\Pi$ serait égal à la poussée d'Archimède, $d$ serait remplacé par $1$ et $R_c\simeq 30\mathrm{m}$ : la conclusion est la même.)

Q12. Système : le ballon \{enveloppe, instruments, dihydrogène\}, de volume fixe $V$ (enveloppe rigide), dans le référentiel terrestre galiléen ; on néglige le volume des instruments. Le ballon est fermé : la masse de dihydrogène est celle introduite au sol, à $P_0$ et $T_0=300\mathrm{K}$ (loi des gaz parfaits) :

$$m_{{\mathrm{H}}_2}=\frac{P_{0}V{\mathcal{M}}_{{\mathrm{H}}_2}}{\mathcal{R}{T}_0}=\frac{10^5\times 4\times 2,0\times 10^{-3}}{8,3\times 300}\mathrm{kg}=0,32\mathrm{kg}.$$

Les minima enregistrés correspondent à l'altitude la plus haute atteinte. Pour que le ballon y monte encore, la poussée d'Archimède doit y compenser au moins le poids total :