Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique II PSI — Partie I (Q1 à Q11) : Oscillateur vertical : ressort sans masse, puis ressort pesant (énergies, masse effective, période)

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Physique II PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Un ressort de raideur $k$ , de longueur à vide $l_{0}$ et de longueur $l (t) = N M$ est suspendu par son extrémité $N$ au point fixe $O$ d'un support immobile dans le référentiel galiléen $R$ ; un point matériel $P$ de masse $m$ est accroché en $M$ . Le mouvement de $P$ est vertical, sur l'axe $(O, u_{z})$ orienté vers le bas : $g = g u_{z}$ avec $g > 0$ . Pas de frottement ; ressort toujours élastique. On note $x ˙ = d x / d t$ .

{ Figure 1 — Ressort et oscillateur vertical.}

Ressort de masse nulle.
Q1. Établir l'énergie potentielle élastique $E_{p, k} (k, l_{0}, l)$ , nulle pour $l = l_{0}$ .
Q2. Établir l'énergie potentielle de pesanteur $E_{p, p} (m, g, l)$ de $P$ , nulle en $O$ .
Q3. En déduire l'énergie mécanique $E_{m}$ de $P$ dans $R$ .
Q4. Établir l'équation différentielle vérifiée par $l (t)$ .
Q5. La résoudre pour $P$ lâché sans vitesse de $l (0) = L > 0$ (pulsation $ω_{0}$ ). Condition sur $L$ pour que $P$ ne heurte pas le support ; nature du mouvement, allure de $l (t)$ ; période $T_{0}$ pour $k = 0, 300 π^{2} \approx 2, 96 N \cdot m^{- 1}$ et $m = 300 g$ .

Ressort de masse $m_{r}$ : $E_{p, k}$ inchangée ; masse uniformément répartie sur la longueur $l$ ; la tranche entre $z$ et $z + d z$ a une vitesse proportionnelle à $z$ ; mêmes origines.
Q6. Énergie potentielle de pesanteur du ressort en fonction de $m_{r}$ , $g$ , $l$ .
Q7. Énergie cinétique $E_{c}$ du ressort en fonction de $m_{r}$ et $l ˙$ .
Q8. Énergie mécanique du système \{ $P$ + ressort\}.
Q9. Équation différentielle vérifiée par $l (t)$ ; commenter.
Q10. La résoudre (même lâcher, pulsation $ω_{1}$ ) ; nature du mouvement ; période $T_{1}$ en fonction de $T_{0}$ , $m$ , $m_{r}$ , valeur pour $m_{r} = 36, 0 g$ (on pourra utiliser $(1 + x)^{α} \approx 1 + α x$ ).
Q11. Condition sur $m_{r}$ pour que l'écart relatif entre $T_{0}$ et $T_{1}$ ne dépasse pas $1%$ .

Corrigé

Q1. Force de rappel. Le ressort exerce sur son extrémité $M$ la force $F = - k (l - l_{0}) u_{N M}$ , où $u_{N M}$ est le vecteur unitaire de $N$ vers $M$ : elle tire $M$ vers $N$ si le ressort est allongé ( $l > l_{0}$ ), le repousse s'il est comprimé.

Travail élémentaire. L'extrémité $N$ étant fixe, un déplacement $d O M$ de $M$ fait varier la longueur de $d l = u_{N M} \cdot d O M$ ; le travail élémentaire de $F$ vaut donc

$δ W = F \cdot d O M = - k (l - l_{0}) d l = - d [\frac{1}{2} k (l - l_{0})^{2}] .$

La force dérive d'une énergie potentielle ; avec l'origine choisie en $l = l_{0}$ :

$E_{p, k} = \frac{1}{2} k (l - l_{0})^{2} .$

Q2. Le poids $m g = m g u_{z}$ est constant. L'axe $(O, u_{z})$ est orienté vers le bas et $P$ se trouve à la cote $z = l > 0$ sous $O$ . Le travail élémentaire du poids est $δ W = m g u_{z} \cdot d O P = m g d z = - d (- m g z)$ , d'où, avec l'origine en $O$ ( $z = 0$ ) :

$E_{p, p} = - m g l .$

Ce que le correcteur attend : le signe moins. Plus $P$ descend ( $l$ croît), plus son énergie potentielle de pesanteur diminue ; l'expression usuelle $+ m g z$ suppose un axe orienté vers le haut.

Q3. La vitesse de $P$ est $l ˙ u_{z}$ ; son énergie cinétique vaut $\frac{1}{2} m l ˙^{2}$ . L'énergie mécanique de $P$ dans $R$ est la somme de l'énergie cinétique et des deux énergies potentielles :

$E_{m} = \frac{1}{2} m l ˙^{2} + \frac{1}{2} k (l - l_{0})^{2} - m g l .$

Q4. Système : le point $P$ ; référentiel $R$ galiléen. Forces : le poids et la tension du ressort, toutes deux conservatives (Q1, Q2) ; aucun frottement. Le théorème de la puissance mécanique donne $d E_{m} / d t = 0$ :

$l ˙ [m l ¨ + k (l - l_{0}) - m g] = 0.$

Le mouvement n'étant pas l'équilibre ( $l ˙$ non identiquement nul), on obtient, avec $ω_{0} = k / m$ :

$l ¨ + ω_{0}^{2} l = ω_{0}^{2} (l_{0} + \frac{m g}{k}) .$

Contrôle par le principe fondamental de la dynamique projeté sur $u_{z}$ : $m l ¨ = m g - k (l - l_{0})$ , identique.

Q5. Résolution. La solution particulière constante est la longueur d'équilibre $l_{eq} = l_{0} + \frac{m g}{k}$ ; la solution générale est $l (t) = l_{eq} + A cos (ω_{0} t) + B sin (ω_{0} t)$ . Les conditions initiales $l (0) = L$ et $l ˙ (0) = 0$ donnent $A = L - l_{eq}$ et $B = 0$ :

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