Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique II PSI — Partie I (suite) (Q12 à Q20) : Oscillateur horizontal à double puits : équilibres, barrière de potentiel, méthode d'Euler, équation de Duffing

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Physique II PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le ressort (désormais de masse nulle) est toujours fixé en $O$ ; le point $P$ (masse $m$ ) glisse sans frottement sur une glissière horizontale confondue avec la droite $(O^{'}, u_{x})$ , où $O^{'}$ est à la distance $l_{c} = O O^{'}$ à la verticale sous $O$ . $P$ est repéré par son abscisse $x$ .

{ Figure 2 — Oscillateur horizontal.}

Q12. Établir l'énergie potentielle $E_{p, P} (x)$ de $P$ (pesanteur nulle en $O^{'}$ , élastique nulle pour $l = l_{0}$ ).
Q13. Discuter, selon $l_{c}$ , les positions d'équilibre $x_{e}$ et leur stabilité ; allures de $E_{p, P} (x)$ avec les valeurs remarquables.
Q14. Dans quel cas parler de barrière de potentiel ? Sa hauteur $U_{b}$ .
Q15. Équation différentielle vérifiée par $x (t)$ ; que représente $\frac{d E _{p, P}}{d x}$ en termes de force ?
Q16. Écrire le système d'ordre 1 en $u_{0} = x$ , $u_{1} = x ˙$ ; relations d'Euler explicite donnant $u_{0, n + 1}$ , $u_{1, n + 1}$ (pas $Δ t$ , $t_{n} = n Δ t$ ) ; valeurs pour $n = 0$ .

Résolution numérique pour $k = 0, 300 π^{2} N \cdot m^{- 1}$ , $m = 300 g$ , $l_{0} = 1, 00 m$ , $l_{c} = 0, 200 m$ :

{ Figure 3 — Solutions numériques pour deux conditions initiales distinctes.}

Q17. Comparer le plus précisément possible la nature du mouvement dans les deux cas.
Q18. Cas B : expressions approchées de la valeur moyenne $⟨ x ⟩$ (en fonction de $l_{c}$ , $l_{0}$ ) et de la période $T_{2}$ (en fonction de $T_{0}$ , $l_{c}$ , $l_{0}$ ) ; applications numériques, comparaison à la figure 3, conclusion sur les approximations.
Q19. Pour $x (0) = X_{0} > 0$ et $x ˙ (0) = 0$ , condition sur $X_{0}$ pour être dans le cas A.

Pour $k = 0, 300 π^{2} N \cdot m^{- 1}$ et $l_{0} = 1, 00 m$ , la figure 4 donne $\frac{d E _{p, P}}{d x}$ pour $l_{c} < l_{0}$ (à gauche) et $l_{c} > l_{0}$ (à droite).

{ Figure 4 — Dérivée de l'énergie potentielle de $P$ .}

On modélise $\frac{d E _{p, P}}{d x} (x) ≃ α_{m} x + β_{m} x^{3}$ .
Q20. Commenter ; signes de $α_{m}$ et $β_{m}$ selon $l_{c}$ ; réécrire l'équation du mouvement (équation de Duffing non amortie).

Corrigé

Q12. Pesanteur. $P$ se déplace sur l'horizontale passant par $O^{'}$ : sa cote reste nulle, son énergie potentielle de pesanteur (origine en $O^{'}$ ) est constamment nulle.

Élasticité. La longueur du ressort est $l = O P$ ; le triangle $O O^{'} P$ est rectangle en $O^{'}$ , donc (théorème de Pythagore) $l = l_{c}^{2} + x^{2}$ . Avec Q1 :

$E_{p, P} (x) = \frac{1}{2} k (l_{c}^{2} + x^{2} - l_{0})^{2} .$

Q13. Dérivées. Avec $l (x) = l_{c}^{2} + x^{2}$ et $\frac{d l}{d x} = \frac{x}{l}$ :

$\frac{d E _{p, P}}{d x} = k x (1 - \frac{l _{0}}{l _{c}^{2} + x ^{2}}), \frac{d ^{2} E _{p, P}}{d x ^{2}} = k (1 - \frac{l _{0}}{l}) + \frac{k l _{0} x ^{2}}{l ^{3}} .$

Les équilibres annulent la dérivée : $x_{e} = 0$ , ou bien $l_{c}^{2} + x_{e}^{2} = l_{0}$ (ressort à sa longueur à vide), possible seulement si $l_{c} \leq l_{0}$ . Un équilibre est stable si l'énergie potentielle y est minimale.

$l_{c} > l_{0}$ : le ressort est toujours tendu ( $l \geq l_{c} > l_{0}$ ) et seul $x_{e} = 0$ convient. $\frac{d ^{2} E _{p, P}}{d x ^{2}} (0) = k (1 - \frac{l _{0}}{l _{c}}) > 0$ : équilibre stable. $E_{p, P}$ a un unique puits de fond $\frac{1}{2} k (l_{c} - l_{0})^{2}$ en $x = 0$ .
$l_{c} = l_{0}$ : seul $x_{e} = 0$ ; la dérivée seconde y est nulle, mais $E_{p, P} \approx \frac{k x ^{4}}{8 l _{0}^{2}}$ (car $l_{0}^{2} + x^{2} - l_{0} \approx x^{2} / (2 l_{0})$ ) : minimum très plat, équilibre stable.
$l_{c} < l_{0}$ : trois équilibres. En $x = 0$ , le ressort est comprimé et $\frac{d ^{2} E _{p, P}}{d x ^{2}} (0) = k (1 - \frac{l _{0}}{l _{c}}) < 0$ : maximum, équilibre instable, avec $E_{p, P} (0) = \frac{1}{2} k (l_{0} - l_{c})^{2}$ . En

$x_{e} = \pm l_{0}^{2} - l_{c}^{2}$

le ressort est à vide ( $E_{p, P} = 0$ ) et $\frac{d ^{2} E _{p, P}}{d x ^{2}} = \frac{k x _{e}^{2}}{l _{0}^{2}} > 0$ : deux équilibres stables. $E_{p, P}$ présente un double puits.

Dans tous les cas $E_{p, P}$ est paire et, pour $∣ x ∣ ≫ l_{c}$ , se comporte comme $\frac{1}{2} k (∣ x ∣ - l_{0})^{2}$ .

{ Allures de $E_{p, P} (x)$ , tracées pour $l_{c} = 0, 5 l_{0}$ et $l_{c} = 1, 2 l_{0}$ ; $S$ : sommet de la barrière, $E_{p, P} (0) = \frac{1}{2} k (l_{0} - l_{c})^{2}$ ; $F$ : fond du puits unique, $E_{p, P} (0) = \frac{1}{2} k (l_{c} - l_{0})^{2}$ ; minima nuls en $\pm l_{0}^{2} - l_{c}^{2}$ .}

Q14. On ne parle de barrière de potentiel que pour $l_{c} < l_{0}$ : la bosse de $E_{p, P}$ en $x = 0$ sépare les deux puits. Pour passer d'un puits à l'autre, $P$ doit franchir le sommet ; la hauteur de la barrière, comptée depuis le fond des puits, est

$U_{b} = E_{p, P} (0) - E_{p, P} (x_{e}) = \frac{1}{2} k (l_{0} - l_{c})^{2} .$

Pour $l_{c} \geq l_{0}$ il n'y a qu'un puits, sans barrière.

Q15. Système : $P$ ; référentiel $R$ galiléen. Forces : le poids $m g u_{z}$ , la réaction de la glissière $R$ , orthogonale à $u_{x}$ (pas de frottement), et la tension du ressort $T = - k (l - l_{0}) \frac{O P}{l}$ avec $O P = x u_{x} + l_{c} u_{z}$ . Le principe fondamental de la dynamique projeté sur $u_{x}$ donne

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