Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique II PSI — Partie II (Q21 à Q27) : Oscillateur à intégrateurs, diode et montage tête-bêche, caractéristique non linéaire à ALI

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Physique II PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On veut simuler l'oscillateur mécanique par le circuit de la figure 5. Les ALI (A1), (A2), (A3) sont idéaux, de gain infini, en régime linéaire ; tensions de saturation $\pm V_{sat}$ .

{ Figure 5 — Oscillateur électronique.}

Q21. Équation différentielle vérifiée par $x (t)$ ; situation mécanique correspondante ?
Q22. Même question avec une résistance $R_{0}$ en parallèle sur $C_{1}$ (dans cette seule question).

Une diode $D$ (convention récepteur) est modélisée ainsi : si $i_{d} > 0$ alors $u_{d} = V_{D}$ (passante) ; si $u_{d} < V_{D}$ alors $i_{d} = 0$ (bloquée), avec la tension seuil $V_{D} > 0$ . Montage tête-bêche avec $D_{1}$ (seuil $V_{D_{1}}$ ) et $D_{2}$ (seuil $V_{D_{2}}$ ) :

{ Figure 6 — Diode (à gauche) et montage tête-bêche (à droite).}

Q23. Tracer $i_{d} = f (u_{d})$ ; établir et tracer $i = g (u)$ du dipôle tête-bêche, avec l'état des diodes dans chaque zone.

Montage de la figure 7 : ALI (A4) idéal en régime linéaire ; $D_{1}$ , $D_{2}$ identiques, de seuil $V_{D}$ .

{ Figure 7 — Circuit à diodes.}

Q24. Établir $s = h (e)$ : expression et domaine de $e$ dans chacune des trois zones (en fonction de $R_{3}$ , $R_{4}$ , $R_{5}$ , $R_{6}$ , $V_{D}$ ).
Q25. Pour $R_{5} = 500Ω$ , $R_{3} = R_{4} = R_{6} = 1, 00 kΩ$ : tracer $h$ ; pentes ; coordonnées des extrema et des intersections avec l'axe des abscisses (en fonction de $V_{D}$ ).

{ Figure 8 — Relevé expérimental de $s = h_{exp} (e)$ pour le montage de la figure 7.}

Q26. Comparer $h$ (Q25) et $h_{exp}$ ; interpréter les écarts. Estimer $V_{D}$ en identifiant les abscisses des intersections de $h_{exp}$ avec l'axe à celles de Q25.

On modélise $h_{exp} (e) ≃ α_{e} e + β_{e} e^{3}$ .
Q27. Valeurs numériques de $α_{e}$ et $β_{e}$ fixées par la figure 8.

Corrigé

Q21. Hypothèses : ALI idéaux ( $i_{+} = i_{-} = 0$ ) en régime linéaire ( $V_{+} = V_{-}$ ). Les entrées $+$ étant à la masse, chaque entrée $-$ est une masse virtuelle. On note $v_{1}$ et $v_{2}$ les tensions de sortie de A1 et A2 (par rapport à la masse).

A1 (intégrateur inverseur). Loi des nœuds en termes de potentiels à l'entrée $-$ : le courant $x / R_{1}$ arrivant par $R_{1}$ traverse $C_{1}$ , de tension $0 - v_{1}$ :

$\frac{x}{R _{1}} = C_{1} \frac{d ( 0 - v _{1} )}{d t} ⟹ \frac{d v _{1}}{d t} = - \frac{x}{R _{1} C _{1}} .$

A2 (inverseur de gain $- 1$ , deux résistances $R$ ) : $v_{2} = - v_{1}$ .

A3 (intégrateur inverseur) : $\frac{v _{2}}{R _{2}} = C_{2} \frac{d ( 0 - x )}{d t}$ , soit $x ˙ = - \frac{v _{2}}{R _{2} C _{2}} = \frac{v _{1}}{R _{2} C _{2}}$ .

En dérivant la dernière relation et en utilisant la première :

$x ¨ + ω_{e}^{2} x = 0, ω_{e} = \frac{1}{R _{1} R _{2} C _{1} C _{2}} .$

C'est l'équation d'un oscillateur harmonique non amorti : $x$ est sinusoïdale de pulsation $ω_{e}$ (tant que les ALI ne saturent pas). Elle correspond à une masse accrochée à un ressort, sans frottement, autour de sa position d'équilibre : $m X ¨ + k X = 0$ (Q4, ou l'équation de Duffing de Q20 avec $β_{m} = 0$ et $α_{m} > 0$ ), avec l'analogie $k / m \leftrightarrow 1/ (R_{1} R_{2} C_{1} C_{2})$ .

Q22. Avec $R_{0}$ en parallèle sur $C_{1}$ , la loi des nœuds à l'entrée $-$ de A1 devient

$\frac{x}{R _{1}} = - C_{1} v ˙_{1} - \frac{v _{1}}{R _{0}} .$

A2 et A3 sont inchangés : $v_{1} = R_{2} C_{2} x ˙$ . En reportant :

$\frac{x}{R _{1}} = - R_{2} C_{1} C_{2} x ¨ - \frac{R _{2} C _{2}}{R _{0}} x ˙ ⟹ x ¨ + \frac{1}{R _{0} C _{1}} x ˙ + \frac{1}{R _{1} R _{2} C _{1} C _{2}} x = 0.$

C'est un oscillateur harmonique amorti, de pulsation propre $ω_{e}$ et de facteur de qualité $Q = R_{0} C_{1} ω_{e} = R_{0} \frac{C _{1}}{R _{1} R _{2} C _{2}}$ . Il correspond à la masse et au ressort soumis à un frottement fluide $- h x ˙$ : $m x ¨ + h x ˙ + k x = 0$ , avec $h / m \leftrightarrow 1/ (R_{0} C_{1})$ . Si $Q > 1/2$ , le régime est pseudo-périodique : oscillations dont l'amplitude décroît exponentiellement. La résistance $R_{0}$ , qui dissipe de l'énergie par effet Joule, joue le rôle du frottement.

Q23. Diode seule. Pour $u_{d} < V_{D}$ : $i_{d} = 0$ (demi-droite horizontale) ; pour $i_{d} > 0$ : $u_{d} = V_{D}$ (demi-droite verticale). La caractéristique est la réunion de ces deux demi-droites.

Dipôle tête-bêche. D'après la figure 6, $D_{1}$ a son anode du côté de la borne d'entrée du courant $i$ : elle est soumise à $u_{D_{1}} = u$ et parcourue par $i_{D_{1}}$ dans le sens de $i$ ; $D_{2}$ est montée en sens inverse : $u_{D_{2}} = - u$ , et $i = i_{D_{1}} - i_{D_{2}}$ .

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