Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique II PSI — Partie II (suite) (Q28 à Q33) : Oscillateur de Duffing électronique : courants de polarisation, dérive des intégrateurs, amortissement et bistabilité

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Physique II PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le circuit à diodes de la figure 7 (entrée $e$ , sortie $s$ , $h_{exp} (e) ≃ α_{e} e + β_{e} e^{3}$ ) est inséré dans le circuit de la figure 5 : $e = x$ , et $s$ attaque désormais $R_{1}$ .

{ Figure 9 — Circuit complet.}

Q28. Équation différentielle de $x (t)$ en fonction de $R_{1}$ , $R_{2}$ , $C_{1}$ , $C_{2}$ , $α_{e}$ , $β_{e}$ ; commenter. Pour $R_{3} = R_{4} = R_{6} = 1 kΩ$ , condition sur $R_{5}$ pour une situation semblable à celle de Q20 avec $l_{c} > l_{0}$ .
Q29. Comment accéder à une tension proportionnelle à $x ˙ (t)$ ? Comment imposer $x (0)$ et $x ˙ (0)$ non nuls ?

Les relevés réels diffèrent de la figure 3. On modélise les ALI réels par des courants d'entrée constants $I_{p +}$ , $I_{p -}$ (de l'ordre du nanoampère), sources de courant dessinées en grisé sur la figure 10 pour (A1).

{ Figure 10 — Intégrateur (A1) avec la modélisation d'un ALI réel ( $z$ est la sortie de A1).}

Q30. $I_{p \pm}$ constants : équation différentielle reliant $z$ et $s$ ; la résoudre pour $s = S_{0} sin (ω t)$ , $C_{1}$ initialement déchargé ; pourquoi $x$ et $x ˙$ n'ont-ils pas l'allure attendue, quel phénomène ?

On place une résistance $R_{7}$ en parallèle sur $C_{1}$ .
Q31. Équation reliant $z$ et $s$ ; forme générale de $z$ en régime établi pour $s = S_{0} sin (ω t)$ ; intérêt de $R_{7}$ sur $C_{1}$ et de $R_{8}$ sur $C_{2}$ (figure 9).

Avec $R_{7} = R_{8} = R_{A}$ , $R_{1} = R_{2} = 100 kΩ$ , $C_{1} = C_{2} = 10, 0 μ F$ :

{ Figure 11 — Relevés expérimentaux pour deux conditions initiales, $R_{A}$ en parallèle sur $C_{1}$ et $C_{2}$ .}

Q32. Commenter et interpréter les allures de $x$ et $x ˙$ dans les cas C et D ; propriété du circuit vis-à-vis des conditions initiales ?

On veut un comportement proche de l'équation de Q28 sur une durée $T$ de l'ordre de la centaine de secondes ; avec $R_{1} = R_{2} = 100 kΩ$ , $R_{3} = R_{4} = R_{6} = 1 kΩ$ , $R_{5} = 500Ω$ , $C_{1} = C_{2} = 10, 0 μ F$ et $R_{7} = R_{8} = R_{B}$ :

{ Figure 12 — Relevés expérimentaux pour trois conditions initiales ( $x ˙ (0) = 0$ ), $R_{B}$ en parallèle sur $C_{1}$ et $C_{2}$ .}

Q33. En s'appuyant sur une équation différentielle aussi proche que possible de celle de Q28, comparer qualitativement $R_{A}$ (cas C, D) et $R_{B}$ (cas E, F, G) ; autres conditions à imposer aux composants ?

Corrigé

Q28. Le circuit de la figure 9 est celui de la figure 5 où la tension appliquée à $R_{1}$ est $s$ au lieu de $x$ . Les relations de Q21 deviennent (ALI idéaux en régime linéaire) :

$\frac{d v _{1}}{d t} = - \frac{s}{R _{1} C _{1}}, v_{2} = - v_{1}, x ˙ = \frac{v _{1}}{R _{2} C _{2}} ⟹ x ¨ = - \frac{s}{R _{1} R _{2} C _{1} C _{2}} .$

L'entrée du circuit à diodes est $e = x$ ; sa sortie $s = h_{exp} (x) ≃ α_{e} x + β_{e} x^{3}$ (l'ALI A3 impose $x$ quel que soit le courant absorbé par $R_{3}$ et $R_{4}$ ). D'où

$x ¨ + \frac{α _{e}}{R _{1} R _{2} C _{1} C _{2}} x + \frac{β _{e}}{R _{1} R _{2} C _{1} C _{2}} x^{3} = 0.$

Commentaire. C'est l'équation de Duffing non amortie de Q20, $x ¨ + \frac{α _{m}}{m} x + \frac{β _{m}}{m} x^{3} = 0$ , avec l'analogie : position (m) $\leftrightarrow$ tension $x$ (V), $α_{m} / m \leftrightarrow α_{e} / τ^{2}$ et $β_{m} / m \leftrightarrow β_{e} / τ^{2}$ , où $τ = R_{1} R_{2} C_{1} C_{2}$ fixe l'échelle de temps ( $τ = 1, 00 s$ avec les valeurs de la suite). Avec $R_{5} = 500Ω$ (figure 8), $α_{e} < 0$ et $β_{e} > 0$ : c'est l'analogue du cas $l_{c} < l_{0}$ , double puits avec deux équilibres stables $x = \pm - α_{e} / β_{e} = \pm e_{0} \approx \pm 1, 78 V$ et un équilibre instable $x = 0$ . L'équation ne comporte aucun terme en $x ˙$ : l'oscillateur simulé est conservatif.

Condition sur $R_{5}$ . Le cas $l_{c} > l_{0}$ correspond à $α_{m} > 0$ et $β_{m} > 0$ (Q20) : un seul puits, centré en $0$ , de plus en plus raide. Il faut donc une caractéristique $h$ croissante en $0$ ( $α_{e} > 0$ ) et de pente croissante avec $∣ e ∣$ ( $β_{e} > 0$ ). D'après Q24, avec $R_{3} = R_{4} = R_{6} = 1 kΩ$ , la pente centrale vaut $\frac{R _{5} - 1 kΩ}{R _{5} + 1 kΩ}$ et la pente des branches extérieures $\frac{R _{5}}{R _{5} + 1 kΩ}$ , toujours plus grande que la pente centrale (de $\frac{1 kΩ}{R _{5} + 1 kΩ}$ ). La pente centrale est positive si et seulement si

$R_{5} > \frac{R _{4} R _{6}}{R _{3}} = 1 kΩ .$

La caractéristique est alors croissante partout et s'accentue au-delà de $\pm e_{s}$ , ce que la cubique modélise avec $α_{e} > 0$ , $β_{e} > 0$ ( $R_{5} = 1 kΩ$ donne $α_{e} = 0$ , analogue de $l_{c} = l_{0}$ ).

Q29. Mesure de $x ˙$ . D'après Q28, la sortie de A1 vaut $v_{1} = R_{2} C_{2} x ˙$ : il suffit de relever la tension de sortie de A1 (ou l'opposé de celle de A2) par rapport à la masse. Avec $R_{2} C_{2} = 1, 00 s$ , $v_{1}$ en volts est numériquement égal à $x ˙$ en $V \cdot s^{- 1}$ .

Conditions initiales. Les variables d'état du circuit sont les tensions des condensateurs. L'entrée $-$ de A3 étant une masse virtuelle, la tension aux bornes de $C_{2}$ est $x$ ; de même la tension aux bornes de $C_{1}$ est $v_{1} = R_{2} C_{2} x ˙$ . On impose donc $x (0)$ et $x ˙ (0)$ en chargeant avant $t = 0$ le condensateur $C_{2}$ sous la tension $x (0)$ et $C_{1}$ sous $R_{2} C_{2} x ˙ (0)$ , par exemple avec deux sources de tension continue réglables reliées à leurs bornes par des interrupteurs, que l'on ouvre à $t = 0$ (l'analogue du lâcher de la masse). Si les deux condensateurs sont déchargés, $x = x ˙ = 0$ est une solution d'équilibre : il ne se passe rien.

Q30. Mise en équation. L'entrée $+$ est reliée directement à la masse : $I_{p +}$ s'écoule dans ce fil sans effet et $V_{+} = 0$ . L'ALI interne est idéal en régime linéaire : $V_{-} = V_{+} = 0$ et il n'absorbe aucun courant. La loi des nœuds au point d'entrée $-$ , en comptant positivement les courants qui y arrivent (par $R_{1}$ , par $C_{1}$ , et le courant $I_{p -}$ fléché vers ce nœud sur la figure 10), s'écrit

$\frac{s}{R _{1}} + C_{1} \frac{d z}{d t} + I_{p -} = 0 ⟺ R_{1} C_{1} \frac{d z}{d t} = - s - R_{1} I_{p -} .$

Résolution. $C_{1}$ initialement déchargé : $z (0) = 0$ (la tension aux bornes de $C_{1}$ est $z - V_{-} = z$ ). Pour $s = S_{0} sin (ω t)$ , une intégration directe donne

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