Corrigé Mines-Ponts 2026 Maths I PSI — Partie E (Q19 à Q25) : Tout endomorphisme de trace nulle est somme de quatre carrés nuls

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Maths I PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de la partie D, $n ⩾ 2$ . $A = (a_{i, j}) \in M_{n} (C)$ est presque triangulaire supérieure si $a_{i, j} = 0$ pour tout $i > j$ , sauf pour $(i, j) = (n, n - 1)$ , où $a_{n, n - 1} \neq = 0$ . On pose $V = (δ_{i, j + 1} 1_{i \neq = n})$ : les lignes de $J_{n}$ , sauf la dernière, qui est nulle.

Q19. Si $A$ est presque triangulaire supérieure de trace nulle, justifier l'existence de $C_{0} \in C^{n - 1}$ tel que $A + V + E_{C_{0}}$ soit semblable à $J_{n}$ .
Q20. Montrer que $J_{n}$ est somme de deux matrices de carré nul (indication : en chaque position, l'une des deux est nulle).
Q21. Pour $C \in C^{n - 1}$ quelconque, construire $B_{1}, B_{2}$ telles que $V + E_{C} = B_{1} + B_{2}$ et $B_{1}^{2} = 0 = B_{2}^{2}$ .
Q22. Soit $v \in L (C^{n})$ qui n'est pas une homothétie. Montrer qu'il existe un plan stable par $v$ contenant un vecteur non nul qui n'est pas vecteur propre de $v$ .
Q23. En déduire que toute matrice de $M_{n} (C) ∖ Vect (I_{n})$ est semblable à une matrice $(B 0 * C)$ avec $B \in M_{2} (C)$ , $b_{2, 1} \neq = 0$ , et $C \in M_{n - 2} (C)$ triangulaire supérieure.
Q24. Montrer que toute matrice de $M_{n} (C) ∖ Vect (I_{n})$ est semblable à une matrice presque triangulaire supérieure.
Q25. Soit $E$ de dimension finie et $u \in L (E)$ de trace nulle. Montrer que $u \in Σ_{4} C (E)$ .

Corrigé

Q19. Posons $H = A + V$ . Examinons ses coefficients sous la diagonale ( $i > j$ ).

Si $i > j + 1$ : $(i, j) \neq = (n, n - 1)$ , donc $a_{i, j} = 0$ , et $V_{i, j} = 0$ ; donc $H_{i, j} = 0$ .
Si $i = j + 1 ⩽ n - 1$ : $a_{j + 1, j} = 0$ (position sous-diagonale différente de $(n, n - 1)$ ) et $V_{j + 1, j} = 1$ ; donc $H_{j + 1, j} = 1 \neq = 0$ .
Si $(i, j) = (n, n - 1)$ : $V_{n, n - 1} = 0$ (dernière ligne nulle) et $H_{n, n - 1} = a_{n, n - 1} \neq = 0$ .

Ainsi $H$ est de Hessenberg régulière, et $tr (H) = tr (A) + tr (V) = 0 + 0 = 0$ ( $V$ est de diagonale nulle). Le polynôme $X^{n}$ est unitaire de degré $n$ et son coefficient sur $X^{n - 1}$ est $0 = - tr (H)$ : d'après Q15, il existe $C_{0} \in C^{n - 1}$ tel que $χ_{H + E_{C_{0}}} = X^{n}$ .

La matrice $E_{C_{0}}$ n'a de coefficients non nuls qu'aux positions $(i, n)$ , $i ⩽ n - 1$ , strictement au-dessus de la diagonale : $H + E_{C_{0}}$ a les mêmes coefficients que $H$ sous la diagonale ; elle est donc encore de Hessenberg régulière, de polynôme caractéristique $X^{n}$ . D'après Q18, $A + V + E_{C_{0}} = H + E_{C_{0}}$ est semblable à $J_{n}$ .

Ce que le correcteur attend : la vérification des hypothèses de Q15 et de Q18 (régularité de $H$ , puis de $H + E_{C_{0}}$ ).

Q20. Rappelons $J_{n} = \sum_{i = 1}^{n - 1} E_{i + 1, i}$ et $E_{i + 1, i} E_{j + 1, j} = δ_{i, j + 1} E_{i + 1, j}$ . Séparons les coefficients sous-diagonaux selon la parité de la colonne :

$B_{1} = 1 ⩽ i ⩽ n - 1 i impair \sum E_{i + 1, i}, B_{2} = 1 ⩽ i ⩽ n - 1 i pair \sum E_{i + 1, i} .$

On a $B_{1} + B_{2} = J_{n}$ , et en chaque position l'une des deux est nulle. Puis $B_{1}^{2} = \sum_{i, j impairs} δ_{i, j + 1} E_{i + 1, j} = 0$ , car $i = j + 1$ est impossible pour deux entiers de même parité ; de même $B_{2}^{2} = 0$ . (Pour $n = 2$ : $B_{1} = E_{2, 1}$ et $B_{2} = 0$ .)

Interprétation : si $(e_{1}, \dots, e_{n})$ est la base canonique, $B_{1}$ envoie $e_{1} \mapsto e_{2}$ , $e_{3} \mapsto e_{4}$ , … et tue les autres vecteurs ; ses images sont d'indice pair, qu'elle annule : $B_{1}^{2} = 0$ .

Q21. Écrivons $C =^{t} (c_{1}, \dots, c_{n - 1})$ , de sorte que $E_{C} = \sum_{k = 1}^{n - 1} c_{k} E_{k, n}$ , et $V = \sum_{i = 1}^{n - 2} E_{i + 1, i}$ . On pose

$B_{1} = i ⩽ n - 2 i impair \sum E_{i + 1, i} + k ⩽ n - 1 k pair \sum c_{k} E_{k, n}, B_{2} = i ⩽ n - 2 i pair \sum E_{i + 1, i} + k ⩽ n - 1 k impair \sum c_{k} E_{k, n} .$

Il est clair que $B_{1} + B_{2} = V + E_{C}$ . Écrivons $B_{1} = S + R$ avec $S$ la première somme et $R$ la seconde ; alors $B_{1}^{2} = S^{2} + S R + R S + R^{2}$ et :

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