Corrigé Mines-Ponts 2026 Physique I MP-MPI-PC — Partie I (Q1 à Q5) : Raies d'émission de l'hydrogène : Balmer, Rydberg, séries spectrales

Le sujet suit la construction historique de la mécanique quantique. Notations : $\lambda =h/p$ désigne la longueur d'onde de de Broglie d'une onde de matière (relation (1)), ${\lambda }_0$ la longueur d'onde d'une onde électromagnétique. Les applications numériques se font avec deux chiffres significatifs, sans calculatrice ; on donne $hc\simeq 1,2\mathrm{eV}\cdot \mu \mathrm{m}$ et $1\mathrm{eV}=1,6\times 10^{-19}\mathrm{J}$.

L'électron de l'atome d'hydrogène (noyau fixe) n'occupe que des niveaux d'énergie discrets ; la transition d'un niveau $E_i$ vers un niveau $E_f<E_i$ émet un photon d'énergie $ϵ=E_i-E_f$. Dans le visible, une lampe à hydrogène émet cinq raies :

Balmer (1865) trace $1/{\lambda }_0$ en fonction de $1/(k+2{)}^2$ (figure 1) : les points s'alignent sur la droite en pointillés.

{Figure 1 — Tracé de $1/{\lambda }_0$ en fonction de $1/(k+2{)}^2$}

Q1. Exprimer ${\lambda }_0$ en fonction de $E_i$, $E_f$, $h$ et $c$.
Q2. Montrer que la droite de Balmer est compatible avec $E_n=-E_0/n^2$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $E_0>0$), l'état initial étant $n_i=k+2$ et l'état final $n_f=2$.
Q3. En déduire $E_0$ en électronvolt.
Q4. Rydberg (1888) ne suppose plus $n_f=2$ mais seulement $n_i>n_f$ : montrer que $1/{\lambda }_0=R_{\infty }(1/n_f^2-1/n_i^2)$, relier $R_{\infty }$ à $E_0$ et calculer $1/R_{\infty }$ en nanomètres.
Q5. Pour $n_f=1$, montrer que ${\lambda }_0⩽{\lambda }_{\max }$, estimer ${\lambda }_{\max }$ et donner le domaine spectral ; pour $n_f>2$, montrer que ${\lambda }_0⩾{\lambda }_{\min }$, estimer ${\lambda }_{\min }$ et donner le domaine spectral. Quelles sont finalement les seules raies visibles ?