Corrigé Mines-Ponts 2026 Physique I MP-MPI-PC — Partie II (Q6 à Q12) : Modèle de Bohr : force centrale, potentiel effectif, quantification

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Physique I MP-MPI-PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

II.A — Énergie potentielle effective.

Le noyau, ponctuel, de charge $+ e$ , est fixe en l'origine $O$ d'un référentiel galiléen ; l'électron $M$ , ponctuel, de masse $m_{e}$ et de charge $- e$ , n'est soumis qu'à l'interaction électrostatique avec le noyau. On note $r = O M$ , $r = r$ , $p$ l'impulsion de l'électron et $p = p$ , $ε_{0}$ la permittivité du vide.

Q6. Établir l'énergie potentielle d'interaction $E_{p} (r)$ , nulle pour $r \to \infty$ .
Q7. Montrer que le moment cinétique $s = r \land p$ est constant ; en déduire que le mouvement est plan et que son plan contient $O$ (on l'étudie ensuite dans le plan $(O x y)$ , en coordonnées polaires $(r, θ)$ ).
Q8. Montrer que l'énergie mécanique s'écrit $E = \frac{1}{2} m_{e} r ˙^{2} + U (r)$ et exprimer $U (r)$ en fonction de $s = s$ , $r$ , $e$ , $m_{e}$ et $ε_{0}$ .
Q9. Esquisser $U (r)$ ; y placer les niveaux d'énergie des 4 types d'orbites possibles, décrire les trajectoires et leurs rayons caractéristiques. En déduire le rayon $r_{c} (s)$ , l'impulsion $p_{c} (s)$ et l'énergie $E_{c} (s)$ des trajectoires circulaires (figure 2).

{Figure 2 — Modèle de Bohr pour l'atome d'hydrogène}

II.B — Quantification de Bohr.

Seules sont stables les trajectoires circulaires dont le périmètre contient exactement $n$ longueurs d'onde $λ = h / p (s)$ , $n \in N^{*}$ (figure 3, $n = 5$ ).

{Figure 3 — Onde stationnaire associée à une trajectoire circulaire pour $n = 5$ }

Q10. Exprimer le lien entre $s$ , $n$ et $h$ .
Q11. En déduire $r_{c} (n)$ , $p_{c} (n)$ et $E_{c} (n)$ en fonction de $n$ , $h$ , $e$ , $m_{e}$ , $ε_{0}$ ; comparer à la relation (2) $E_{n} = - E_{0} / n^{2}$ .
Q12. Rayon minimal $r_{c, m i n}$ d'une trajectoire circulaire : expression, valeur numérique (un chiffre significatif), commentaire.

Corrigé

Q6. Système : l'électron ; référentiel lié au noyau, galiléen. D'après la loi de Coulomb, l'électron subit

$F = \frac{( + e ) ( - e )}{4 π ε _{0} r ^{2}} e_{r} = - \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r ^{2}} e_{r}, e_{r} = \frac{r}{r},$

force attractive (dirigée vers $O$ ). Elle dérive d'une énergie potentielle : $δ W = F \cdot d r = - \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r ^{2}} d r = - d E_{p}$ , soit $E_{p} (r) = - \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r} + C$ . Avec $E_{p} (\infty) = 0$ , $C = 0$ :

$E_{p} (r) = - \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r} .$

(C'est aussi $- e V (r)$ avec $V (r) = e / (4 π ε_{0} r)$ le potentiel créé par le noyau.) Contrôle : $E_{p} < 0$ et croissante, ce qui traduit une attraction.

Q7. $O$ est fixe dans le référentiel galiléen d'étude. Le théorème du moment cinétique en $O$ s'écrit

$\frac{d s}{d t} = = v \land m_{e} v = 0 \frac{d r}{d t} \land p + r \land \frac{d p}{d t} = r \land F = 0,$

car la force est centrale ( $F$ colinéaire à $r$ ). Donc $s = r \land p = cte$ .

Planéité. Par définition du produit vectoriel, $r \cdot s = r \cdot (r \land p) = 0$ à chaque instant : si $s \neq = 0$ , le vecteur $O M$ reste orthogonal au vecteur fixe $s$ , donc $M$ reste dans le plan passant par $O$ et orthogonal à $s$ . Le mouvement est plan et son plan contient le noyau. (Cas limite $s = 0$ : $v$ reste colinéaire à $O M$ , le mouvement est rectiligne sur une droite passant par $O$ , a fortiori plan.)

Ce que le correcteur attend : l'argument « $r$ orthogonal à un vecteur constant », et non la seule affirmation « la force est centrale donc le mouvement est plan ».

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