Corrigé Mines-Ponts 2026 Physique I MP-MPI — Partie III.A-B (Q13 à Q17) : États stationnaires, onde libre et puits infini (neutron confiné)

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Physique I MP-MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

III.A — États quantiques stationnaires.

Une particule de masse $m$ et d'énergie $E$ indépendante du temps est confinée dans un domaine $D$ assimilé à un cylindre infiniment long d'axe $(O x)$ et de section $S$ . Sa fonction d'onde $Ψ (x, t)$ vérifie l'équation de Schrödinger

$i ℏ \frac{\partial Ψ}{\partial t} = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2} Ψ}{\partial x ^{2}} + V (x) Ψ (x, t) = E Ψ (4)$

avec $ℏ = h / (2 π)$ et $V (x)$ réelle. On cherche $Ψ (x, t) = ψ (x) e^{- i ω t}$ , $ω \in R$ .

Q13. Interpréter $\int_{D} ∣ Ψ (x, t) ∣^{2} S d x$ ; en déduire la dimension de $Ψ$ . Équation différentielle vérifiée par $ψ (x)$ ; expression de l'énergie de la particule.
Désormais $V (x) = V_{0}$ constante.
Q14. Condition de propagation sans atténuation ; forme générale de $ψ$ et longueur d'onde $λ$ ; impulsion pour un sens unique de propagation. La relation entre $p$ et l'énergie cinétique $K = E - V (x)$ est-elle celle de la physique classique ?

III.B — Ondes stationnaires et états liés.

$Ψ$ s'annule en $x = 0$ et $x = ℓ$ ; $V = 0$ sur ce segment. L'onde stationnaire s'annule $n - 1$ fois entre les extrémités ( $n + 1$ fois en tout), $n \in N^{*}$ (figure 4).

{Figure 4 — Onde stationnaire à $n - 1$ n{œ}uds intermédiaires (ici $n = 4$ )}

Q15. Cette condition d'onde stationnaire est-elle identique à celle de Bohr (figure 3, $2 π r = nλ$ ) ?
Q16. Déduire de (4) l'énergie $E_{n}$ en fonction de $n$ , $ℓ$ , $m$ et $h$ .
Q17. La particule est un neutron ( $m_{n} = 1, 7 \times 1 0^{- 27} kg$ ) ; l'écart entre l'état fondamental et le premier état excité est $Δ E = 30 MeV$ . Estimer $ℓ$ ; commenter (situation physique, interaction qui confine le neutron).

Corrigé

Q13. D'après l'interprétation de Born, $∣ Ψ (x, t) ∣^{2}$ est une densité volumique de probabilité de présence : $∣ Ψ ∣^{2} S d x$ est la probabilité de trouver la particule, à l'instant $t$ , dans la tranche du cylindre comprise entre $x$ et $x + d x$ , de volume $S d x$ . L'intégrale sur $D$ est donc la probabilité de trouver la particule dans le domaine $D$ ; comme elle y est confinée, c'est une certitude :

$\int_{D} ∣ Ψ (x, t) ∣^{2} S d x = 1 (condition de normalisation).$

Une probabilité est sans dimension et $S d x$ est un volume : $[∣ Ψ ∣^{2}] L^{3} = 1$ , d'où

$[Ψ] = L^{- 3/2} .$

On reporte $Ψ = ψ (x) e^{- i ω t}$ dans (4) : $i ℏ \partial_{t} Ψ = i ℏ (- i ω) Ψ = ℏ ω Ψ$ , et, après simplification par $e^{- i ω t} \neq = 0$ ,

$- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{d ^{2} ψ}{d x ^{2}} + V (x) ψ (x) = E ψ (x) (e ˊ quation de Schr o ¨ dinger stationnaire),$

avec, d'après l'égalité de (4) entre premier et dernier membres,

$E = ℏ ω = \frac{hω}{2 π} (relation de Planck-Einstein).$

La densité de probabilité $∣ Ψ ∣^{2} = ψ (x)^{2}$ ne dépend pas du temps : c'est un état stationnaire.

Q14. Avec $V = V_{0}$ , l'équation de Q13 devient

$\frac{d ^{2} ψ}{d x ^{2}} + \frac{2 m ( E - V _{0} )}{ℏ ^{2}} ψ = 0.$

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