Corrigé Mines-Ponts 2026 Physique I MP-MPI — Partie III.D (Q23 à Q25) : État fondamental de l'hydrogène : densité radiale, énergie, viriel

Q23. La probabilité de trouver l'électron dans le volume élémentaire $\mathrm{d}\tau =r^2\sin \theta \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$ est ${\left|\underline{\Psi }\right|}^2\mathrm{d}\tau ={\psi }_0^2{\mathrm{e}}^{-2r/R}\mathrm{d}\tau$. Entre les sphères de rayons $r$ et $r+\mathrm{d}r$, on intègre sur les angles ($4\pi$) :

$$\mathrm{d}\mathbb{P}={\psi }_0^2{\mathrm{e}}^{-2r/R}4\pi r^2\mathrm{d}r⟹\rho (r)=4\pi {\psi }_0^2{r}^2{\mathrm{e}}^{-2r/R}.$$

Normalisation (l'électron est quelque part), avec $x=2r/R$ :

$$1={\int }_0^{\infty }\rho (r)\mathrm{d}r=4\pi {\psi }_0^2{\left(\frac{R}{2}\right)}^3{\int }_0^{\infty }{x}^2{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=\pi {\psi }_0^2{R}^3,$$

donc

$${\psi }_0=\frac{1}{\sqrt{\pi R^3}},\boxed{\rho (r)=\frac{4r^2}{R^3}{\mathrm{e}}^{-2r/R}}.$$

$\rho$ est nulle en $0$ (le volume $4\pi r^2\mathrm{d}r$ s'annule), maximale là où ${\rho }^{\prime }(r)=\frac{4}{R^3}{\mathrm{e}}^{-2r/R}2r\left(1-\frac{r}{R}\right)=0$, soit en $r=R$ (avec $\rho (R)=4{\mathrm{e}}^{-2}/R\simeq 0,54/R$), et tend vers $0$ exponentiellement à l'infini.

Interprétation : $R$ est la distance la plus probable entre l'électron et le noyau : le rayon de la sphère au voisinage de laquelle on a le plus de chances de trouver l'électron. (La distance moyenne est $⟨r⟩=3R/2$.)