Corrigé Mines-Ponts 2026 Physique I MP — Partie III.C (Q18 à Q22) : Diffraction des électrons : expérience de Davisson et Germer

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Physique I MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Expérience de Davisson et Germer (1927), sous vide (figure 5). L'électrode K, chauffée et au potentiel nul, émet des électrons (masse $m_{e}$ , charge $- e$ ) de vitesse négligeable ; ils sont accélérés entre K et la grille A, l'espace entre les grilles A et B étant équipotentiel ( $V_{A} = V_{B}$ , réglable). Le faisceau envoie sur le cristal de nickel $Φ_{0}$ électrons par unité de section droite et par unité de temps. Entre les grilles et le cristal, les électrons, sans interaction, sont décrits par $Ψ_{inc} (x, t) = ψ_{0} exp [- \frac{i}{ℏ} (p x - E t)]$ avec $p$ , $E$ , $ψ_{0}$ réels positifs. L'angle $θ = 5 0^{\circ}$ est fixé.

{Figure 5 — Schéma de l'expérience de Davisson et Germer, 1927}

Q18. Pourquoi ne faut-il pas laisser le cristal se charger ? Faut-il le relier à la masse ou aux électrodes A et B ?
Q19. Exprimer $p$ et $E$ en fonction de $V_{A}$ , $m_{e}$ et $e$ .
Q20. Dimension et interprétation de $J = ∣ Ψ ∣^{2} p / m_{e}$ ; en déduire $ψ_{0}$ en fonction de $Φ_{0}$ , $p$ , $m_{e}$ . Supposer $ψ_{0} > 0$ fait-il perdre de la généralité ?

Les atomes forment des plans parallèles équidistants de $a$ (figure 6) ; le faisceau s'y réfléchit selon la loi de la réflexion, et l'on observe l'interférence des faisceaux réfléchis par les plans successifs.

{Figure 6 — Réseau de plans réfléchissant le faisceau d'électrons}

Q21. Exprimer, en fonction de $a$ et $θ$ , la différence de marche $δ$ entre deux « rayons électroniques » diffractés par deux plans consécutifs ; en déduire la relation entre $λ$ , $a$ , $θ$ et l'ordre $q$ pour un faisceau diffracté intense.

La figure 7 (d'après la publication originale) donne, pour $θ = 5 0^{\circ}$ , l'intensité détectée en fonction de $V$ ( $V$ en volts).

{Figure 7 — D'après Davisson et Germer, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1928}

Q22. Expliquer le choix de $V$ en abscisse ; en déduire une estimation de $a$ (un chiffre significatif) ; commenter.

Corrigé

Q18. Les électrons captés par un cristal isolé s'y accumulent : le cristal prend une charge négative croissante et un potentiel de plus en plus bas. Il crée alors, entre la grille B et sa surface, un champ électrique qui freine et dévie les électrons incidents (répulsion électrostatique) : leur énergie cinétique à l'arrivée n'est plus $e V_{A}$ , leur longueur d'onde change au cours de l'expérience (les mesures ne sont plus reproductibles), le faisceau se défocalise et, à la limite, les électrons n'atteignent plus le cristal. Ce n'est donc pas souhaitable.

Pour que l'énoncé soit valable (« entre les grilles et le cristal, les électrons ne subissent aucune interaction »), l'espace B--cristal doit être équipotentiel : le cristal doit être au même potentiel que les grilles. Il faut donc le relier aux électrodes A et B. Relié à la masse (potentiel $0$ , celui de K), il repousserait les électrons entre B et le cristal : par conservation de l'énergie, ils y arriveraient avec une énergie cinétique $e (V_{cristal} - V_{K}) = 0$ ; ils ne l'atteindraient donc pratiquement pas, et en tout cas pas avec la longueur d'onde fixée par $V_{A}$ . Relié à A et B, le cristal évacue les électrons reçus vers le générateur, qui referme le circuit.

Ce que le correcteur attend : un argument (potentiel du cristal, champ entre B et le cristal), pas un « pile ou face ».

Q19. Système : un électron ; référentiel du laboratoire, galiléen ; seule force notable, la force électrique (poids négligeable). Le théorème de l'énergie cinétique entre K (vitesse nulle, potentiel $0$ ) et A (potentiel $V_{A}$ ), l'énergie potentielle de l'électron étant $- e V$ :

$\frac{p ^{2}}{2 m _{e}} - 0 = - (- e) (V_{A} - 0) = e V_{A} ⟹ p = 2 m_{e} e V_{A} .$

Au-delà de A, l'espace est équipotentiel : $p$ reste constant. Dans l'équation de Schrödinger (4), on prend $V (x) = 0$ dans cette région de potentiel uniforme (une constante additive ne change que la phase globale) ; l'énergie de l'électron libre est alors purement cinétique (Q14, $K = E$ ) :

$E = \frac{p ^{2}}{2 m _{e}} = e V_{A} .$

Le traitement non relativiste est justifié : $e V_{A} ⩽ 625 eV$ sur la figure 7 ( $V ⩽ 25$ ), très petit devant $m_{e} c^{2} ≃ 0, 5 MeV$ .

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