Corrigé Mines-Ponts 2026 Physique I PSI — Partie I (Q1 à Q2) : Bilans de quantité de mouvement et d'énergie cinétique d'un système ouvert

Données de tout le problème : eau incompressible de masse volumique $\mu =10^3\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}$ ; $g=10\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$ ; écoulements en conduite à grand nombre de Reynolds, vitesse moyenne uniforme sur une section. Sauf pour le jet de la partie III, la gravité n'intervient pas (la réaction du sol compense le poids). Dans les parties I à III, on raisonne en surpressions (écart à la pression atmosphérique) : les forces cherchées n'incluent pas l'action de la pression atmosphérique.

Un fluide s'écoule en régime permanent à travers une surface de contrôle fixe (en pointillés) ; débit volumique $Q$, vitesses d'entrée ${\overrightarrow{v}}_{\mathrm{e}}$ et de sortie ${\overrightarrow{v}}_{\mathrm{s}}$ uniformes sur les sections. $\Sigma (t)$ est le système ouvert formé du fluide contenu à l'instant $t$ dans la surface de contrôle.

{ Figure 1 — Écoulement permanent d'un fluide.}

Q1. Définir un système fermé $S_{\mathrm{F}}(t)$ incluant $\Sigma (t)$, calculer la variation $\mathrm{d}\overrightarrow{p}$ de sa quantité de mouvement pendant $\mathrm{d}t$ et en déduire $\mu Q({\overrightarrow{v}}_{\mathrm{s}}-{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{e}})={\overrightarrow{R}}_{\mathrm{ext}}$.
Q2. Calculer la variation $\mathrm{d}{E}_{\mathrm{c}}$ de l'énergie cinétique de $S_{\mathrm{F}}(t)$ pendant $\mathrm{d}t$ et en déduire $\frac{1}{2}\mu Q(v_{\mathrm{s}}^2-v_{\mathrm{e}}^2)=P_{\mathrm{int}}+P_{\mathrm{ext}}$.