Corrigé Mines-Ponts 2026 Physique I PSI — Partie II (Q3 à Q8) : Lance à incendie : tension du tuyau, force du pompier, Bernoulli

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Physique I PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le tuyau souple, sans raideur, de section d'aire $A$ constante (assimilé à une ligne), est posé sur un sol mouillé sans frottement et se termine par une lance. L'eau y a la vitesse $v (M) = v (M) t^(M)$ , avec $t^(M)$ le vecteur unitaire tangent orienté dans le sens de l'écoulement.

{ Figure 2 — Lance à incendie.}

Q3. Montrer que $v (M)$ est la même tout le long du tuyau (notée $v$ ).

L'action de la partie amont du tuyau sur la partie aval en $M$ est une tension tangente $T (M) t^(M)$ . La surpression $p$ de l'eau est uniforme le long du tuyau (pertes de charge négligées). On étudie la portion comprise entre deux points quelconques $M_{1}$ et $M_{2}$ , de tangentes non colinéaires ; la figure 3 représente les actions de tension appliquées à cette portion.

{ Figure 3 — Bilan des actions sur la portion $M_{1} M_{2}$ .}

Q4. Par un bilan sur la surface de contrôle comprise entre $M_{1}$ et $M_{2}$ , montrer que $T (M_{1}) = T (M_{2}) = T$ ; exprimer $T$ en fonction de $μ$ , $Q$ , $v$ , $p$ et $A$ .

La lance, d'entrée de section $A$ et de sortie de section $A_{s} < A$ , éjecte l'eau à la vitesse $v_{s} = v_{s} t^_{s}$ colinéaire au tuyau ; le pompier exerce sur elle la force $F$ .

{ Figure 4 — La lance et la force du pompier.}

Q5. Exprimer $v_{s}$ en fonction de $v$ et des données, puis $F$ en fonction de $μ$ , $Q$ et $v_{s}$ . Le pompier pousse-t-il ou tire-t-il sur la lance ?
Q6. Exprimer $F_{eau}$ , composante sur $t^_{s}$ de la résultante $F_{eau}$ des actions de l'eau sur la lance, en fonction de $T$ et $F$ .
Q7. L'écoulement dans la lance est parfait, stationnaire, incompressible et homogène. Écrire la relation de Bernoulli entre l'entrée et la sortie de la lance ; montrer que $T = \frac{1}{2} μ Q^{2} \frac{1}{A} k_{1}$ et $F_{eau} = \frac{1}{2} μ Q^{2} \frac{1}{A} k_{2}$ , avec $k_{1}$ et $k_{2}$ fonctions de $A / A_{s}$ . Sens de l'action de l'eau sur la lance ? Comparer $T$ et $F_{eau}$ .
Q8. Évaluer $F_{eau}$ et $F$ pour $A = 10 \times 1 0^{- 3} m^{2}$ , $A_{s} = 0, 5 \times 1 0^{- 3} m^{2}$ et $Q = 600$ litres par minute.

Corrigé

Q3. On considère l'eau comprise entre deux sections quelconques du tuyau, en $M$ et en $M^{'}$ , en régime stationnaire, le tuyau étant immobile. L'eau étant incompressible et le volume compris entre les deux sections fixe, la masse d'eau contenue entre elles est constante : la masse qui entre en $M$ pendant $d t$ est égale à celle qui sort en $M^{'}$ (conservation de la masse, débit massique conservé) :

$μ A v (M) d t = μ A v (M^{'}) d t ⟹ v (M) = v (M^{'}) .$

L'aire $A$ étant la même partout, la vitesse est uniforme le long du tuyau : $v = Q / A$ .

Q4. Système. Le système ouvert est constitué du tronçon de tuyau compris entre $M_{1}$ et $M_{2}$ et de l'eau qu'il contient ; la surface de contrôle entoure le tuyau et coupe l'écoulement par les deux sections droites en $M_{1}$ et $M_{2}$ . Le tuyau est immobile : sa quantité de mouvement est constante, et le résultat de Q1 s'applique au système « tuyau + eau », le débit étant $Q$ à l'entrée $M_{1}$ (vitesse $v t^_{1}$ ) et à la sortie $M_{2}$ (vitesse $v t^_{2}$ ), avec $t^_{i} = t^(M_{i})$ .

Bilan des forces extérieures (référentiel terrestre galiléen, surpressions) :

poids et réaction normale du sol, verticaux, qui se compensent (sol sans frottement) : on ne projette que sur le plan horizontal ;
actions de la pression atmosphérique : résultante nulle sur la surface fermée, donc omises (on travaille en surpression) ;
actions de tension exercées par le reste du tuyau, conformément à la figure 3 : $- T (M_{1}) t^_{1}$ en $M_{1}$ (le tronçon amont retient la portion) et $+ T (M_{2}) t^_{2}$ en $M_{2}$ ; un tuyau tendu correspond à $T > 0$ ;
actions de l'eau extérieure au système sur les sections droites : l'eau amont pousse avec $p A t^_{1}$ en $M_{1}$ , l'eau aval avec $- p A t^_{2}$ en $M_{2}$ (forces de surpression dirigées vers l'intérieur du volume).

Bilan de quantité de mouvement (Q1) :

$μ Q v (t^_{2} - t^_{1}) = - T (M_{1}) t^_{1} + T (M_{2}) t^_{2} + p A t^_{1} - p A t^_{2},$

soit

$[T (M_{2}) - p A - μ Q v] t^_{2} = [T (M_{1}) - p A - μ Q v] t^_{1} .$

Les vecteurs $t^_{1}$ et $t^_{2}$ n'étant pas colinéaires, les deux coefficients sont nuls :

$T (M_{1}) = T (M_{2}) = T = p A + μ Q v = p A + \frac{μ Q ^{2}}{A}$

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