Corrigé Mines-Ponts 2026 Physique I PSI — Partie III (Q9 à Q13) : Jet d'eau vertical : Bernoulli, pertes de charge régulière et singulière

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Physique I PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Un réseau fournit l'eau avec une surpression $p_{0}$ constante (indépendante du débit) et une vitesse négligeable. Il alimente un tuyau horizontal de longueur $L$ et de diamètre $D$ , où l'eau a la vitesse uniforme $v = v e^_{x}$ ; au bout, un rétrécissement assimilé à un trou circulaire de diamètre $d < D$ , dirigé vers le haut, éjecte l'eau à la vitesse $v_{s} = v_{s} e^_{z}$ . Le jet monte à la hauteur $h$ au-dessus de la sortie. Frottements de l'air négligés, fluide parfait (Q9-Q10).

{ Figure 5 — Jet d'eau vertical.}

Q9. Exprimer $h$ en fonction de $v_{s}$ et des données.
Q10. Bernoulli supposé applicable entre le réseau et la sortie ( $v_{s} = v_{s, m}$ , $h = h_{m}$ ) : exprimer $v_{s, m}$ en fonction de $p_{0}$ , puis $h_{m}$ ; effet d'un rétrécissement de la sortie ? Valeur de $h_{m}$ pour $p_{0} = 3 bar$ .

Pertes de charge. Loi de Darcy-Weisbach pour une conduite horizontale de longueur $L$ et de diamètre $D$ : $p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} μ v^{2} \frac{L}{D} f$ , avec $f$ sans dimension (coefficient de perte de charge).

Q11. Deux nombres sans dimension dont dépend $f$ ? Nom de la représentation graphique de $f$ en fonction de ces deux nombres ? Par un bilan d'énergie mécanique, exprimer la puissance $P_{dis}$ dissipée par viscosité en fonction de $Q$ et de $p_{1} - p_{2}$ .

Au rétrécissement, perte de charge singulière $p_{D} - p_{d} = \frac{1}{2} μ v_{s}^{2} K$ ( $K$ sans dimension). Pertes négligées à la connexion au réseau.

Q12. Exprimer $v_{s}$ en fonction de $v_{s, m}$ , $f$ , $K$ , $L / D$ et $d / D$ (cohérence sans pertes ?), puis $h$ en fonction de $h_{m}$ , $f$ , $K$ , $L / D$ et $d / D$ . Un jet plus haut que $h_{m}$ est-il possible ?
Q13. Avec $K = 0, 5$ , $f = 0, 02$ , $L = 25 m$ , $D = 2, 5 cm$ , $d = 1 mm$ : tableau des valeurs de $h$ , $v$ et $v_{s}$ avec et sans rétrécissement ; pourquoi rétrécir la sortie augmente-t-il la hauteur ?

Corrigé

Q9. Après la sortie, une particule d'eau n'est soumise qu'à son poids (frottements de l'air négligés, pression atmosphérique uniforme autour du jet). Dans le référentiel terrestre galiléen, le théorème de l'énergie cinétique entre la sortie (vitesse $v_{s}$ verticale) et le sommet (vitesse nulle) donne $0 - \frac{1}{2} m v_{s}^{2} = - m g h$ :

$h = \frac{v _{s}^{2}}{2 g}$

C'est aussi la relation de Bernoulli le long de la ligne de courant axiale du jet, à surpression nulle.

Q10. Relation de Bernoulli (écoulement parfait, stationnaire, incompressible, homogène) le long d'une ligne de courant allant du réseau (surpression $p_{0}$ , vitesse nulle) à la sortie (surpression nulle, vitesse $v_{s, m}$ ), à la même altitude (la faible dénivellation du coude est négligée devant $h_{m}$ ) :

$p_{0} = \frac{1}{2} μ v_{s, m}^{2} ⟹ v_{s, m} = \frac{2 p _{0}}{μ} et, d’apr e ˋ s Q9, h_{m} = \frac{v _{s, m}^{2}}{2 g} = \frac{p _{0}}{μg}$

$h_{m}$ ne dépend ni de $D$ ni de $d$ : sans pertes, rétrécir la sortie ne modifie pas la hauteur du jet (elle diminue seulement le débit $Q = π d^{2} v_{s, m} /4$ ). Toute la surpression est convertie en énergie cinétique puis en énergie potentielle. Application numérique ( $p_{0} = 3 \times 1 0^{5} Pa$ ) :

$h_{m} = \frac{3 \times 1 0 ^{5}}{1 0 ^{3} \times 10} = 30 m = 3 \times 1 0^{1} m, v_{s, m} = 600 \approx 2 \times 1 0^{1} m \cdot s^{- 1} (24, 5 m \cdot s^{- 1}) .$

Une surpression de 3 bar équivaut à une colonne d'eau de 30 m : ordre de grandeur cohérent.

Q11. Nombres sans dimension. Par analyse dimensionnelle, $f$ dépend du nombre de Reynolds $R e = \frac{μv D}{η}$ ( $η$ viscosité dynamique), qui compare transport convectif et transport diffusif de quantité de mouvement, et de la rugosité relative $ε_{r} / D$ de la paroi ( $ε_{r}$ hauteur moyenne des aspérités). La représentation graphique de $f (R e, ε_{r} / D)$ est le diagramme de Moody (en échelles logarithmiques : droite $f = 64/ R e$ en régime laminaire, famille de courbes paramétrées par la rugosité relative en régime turbulent). Ce que le correcteur attend : des nombres réellement sans dimension ( $64$ n'en est pas un), et ne pas confondre $f$ avec le coefficient de traînée.

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