Corrigé Mines-Ponts 2026 Physique I PSI — Partie IV (Q14 à Q22) : Instabilité de Rayleigh-Plateau d'un jet et fragmentation en gouttes

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Physique I PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

IV.A Modèle. Jet cylindrique de rayon $R_{0}$ perturbé : $r (z) = R + ε sin (k z)$ , $ε ≪ R$ et $ε ≪ λ = 2 π / k$ . Loi de Laplace : $P_{int} - P_{ext} = α (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}})$ ( $α$ : tension superficielle), avec

$\frac{1}{R _{1}} = \frac{1}{r [ 1 + ( \frac{d r}{d z} ) ^{2} ] ^{1/2}}, \frac{1}{R _{2}} = \frac{\frac{d ^{2} r}{d z ^{2}}}{[ 1 + ( \frac{d r}{d z} ) ^{2} ] ^{3/2}} .$

{ Figure 6 — Oscillations du jet.}

Q14. Unité de $α$ ?
Tranche $[- λ /2, λ /2]$ : surface latérale $S = \int 2 π r 1 + (d r / d z)^{2} d z$ , énergie $E_{p} = α S$ .
Q15. Conservation du volume : $R$ en fonction de $R_{0}$ et $ε$ (second ordre).
Q16. Montrer que $S = 2 π R_{0} λ (1 + γ ε^{2})$ , $γ (k, R_{0})$ ; stabilité si et seulement si $λ < λ_{ℓ} (R_{0})$ .
Q17. Au premier ordre ( $R = R_{0}$ ), exprimer $Δ P = P_{int} - P_{atm}$ ; retrouver la stabilité.
Q18. Analyse dimensionnelle : temps de brisure $τ_{h} (μ, R_{0}, α)$ .
Désormais $ε (t)$ , premier ordre ; tranche $[- λ /4, λ /4]$ , centre d'inertie en $z_{G}$ .
Q19. Montrer que $z_{G} = σ λ ε / R_{0}$ , $σ$ facteur numérique à déterminer.
Modèle grossier : l'accélération de $G$ est due à l'écart de pression entre les extrémités de la tranche.
Q20. Équation différentielle de $ε (t)$ ; discussion selon $k$ ; cas instable : $ε \propto exp (t / τ_{k})$ , $τ_{k} (ξ = k R_{0}, τ_{h})$ ; $τ_{m i n}$ et $λ_{c}$ associée.
Q21. Pourquoi des fragments de longueur $λ_{c}$ ? Rayon des gouttes ; surfaces avant et après ; commenter.

IV.B Expérience. Jet descendant, orifice de diamètre $4 mm$ , vitesse $1 m \cdot s^{- 1}$ (constante). La photographie (figure 7) montre un jet lisse puis fragmenté en gouttes, dont les chocs dans l'évier sont sonores. $α = 7, 2 \times 1 0^{- 2}$ SI ; temps de brisure $10 τ_{h}$ .
Q22. Distance de fragmentation ; fréquence des chocs.

Corrigé

Q14. D'après la loi de Laplace, $α$ est le produit d'une pression par une longueur (un rayon de courbure) : $[α] = Pa \cdot m = N \cdot m^{- 1}$ . De façon équivalente, $E_{p} = α S$ montre que $α$ est une énergie par unité de surface, en $J \cdot m^{- 2}$ ; en unités de base, $kg \cdot s^{- 2}$ .

Q15. Le volume de la tranche est $V = \int_{- λ /2}^{λ /2} π r^{2} d z$ . Avec $r^{2} = R^{2} + 2 R ε sin (k z) + ε^{2} sin^{2} (k z)$ , et sur une période $\int sin (k z) d z = 0$ , $\int sin^{2} (k z) d z = λ /2$ :

$V = π λ (R^{2} + \frac{ε ^{2}}{2}) .$

Le fluide est incompressible : la tranche avait, avant perturbation, le volume $π R_{0}^{2} λ$ . D'où $R^{2} = R_{0}^{2} - ε^{2} /2$ et, au second ordre en $ε / R_{0}$ ,

$R = R_{0} 1 - \frac{ε ^{2}}{2 R _{0}^{2}} ≃ R_{0} (1 - \frac{ε ^{2}}{4 R _{0}^{2}}) = R_{0} - \frac{ε ^{2}}{4 R _{0}}$

Le rayon moyen diminue légèrement : les renflements doivent être compensés.

Q16. Avec $\frac{d r}{d z} = ε k cos (k z)$ , au second ordre $1 + ε^{2} k^{2} cos^{2} (k z) ≃ 1 + \frac{1}{2} ε^{2} k^{2} cos^{2} (k z)$ , donc

$S ≃ \int_{- λ /2}^{λ /2} 2 π (R + ε sin (k z)) (1 + \frac{1}{2} ε^{2} k^{2} cos^{2} (k z)) d z .$

Au second ordre, seuls restent $2 π R λ$ et $2 π R \cdot \frac{1}{2} ε^{2} k^{2} \cdot \frac{λ}{2}$ (le terme en $ε sin$ s'intègre à zéro, le terme en $ε^{3}$ est négligé) ; dans ce dernier, $R$ peut être remplacé par $R_{0}$ . Avec Q15 :

$S = 2 π λ (R_{0} - \frac{ε ^{2}}{4 R _{0}} + \frac{R _{0} k ^{2} ε ^{2}}{4}) = 2 π R_{0} λ (1 + γ ε^{2}), γ = \frac{k ^{2} R _{0}^{2} - 1}{4 R _{0}^{2}}$

Stabilité. À volume donné, l'énergie potentielle de la tranche est $E_{p} = α S = 2 π α R_{0} λ (1 + γ ε^{2})$ . L'état non perturbé ( $ε = 0$ ) est une position d'équilibre stable si $E_{p}$ y est minimale, c'est-à-dire si toute perturbation augmente la surface : $γ > 0$ , soit $k R_{0} > 1$ , soit

$λ < λ_{ℓ}, λ_{ℓ} = 2 π R_{0}$

Une perturbation de longueur d'onde supérieure au périmètre du jet diminue la surface : elle est amplifiée (critère de Plateau).

Q17. Au premier ordre en $ε$ , $(d r / d z)^{2}$ est d'ordre 2 et $R = R_{0}$ :

$\frac{1}{R _{1}} ≃ \frac{1}{R _{0} + ε sin ( k z )} ≃ \frac{1}{R _{0}} - \frac{ε}{R _{0}^{2}} sin (k z), \frac{1}{R _{2}} ≃ \frac{d ^{2} r}{d z ^{2}} = - ε k^{2} sin (k z) .$

La loi de Laplace donne

$Δ P = \frac{α}{R _{0}} + α ε (k^{2} - \frac{1}{R _{0}^{2}}) sin (k z) ⟹ Δ P = \frac{α}{R _{0}} + 4 α γ ε sin (k z)$

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