Corrigé Mines-Ponts 2026 Physique II MP — Partie I (Q1 à Q13) : Résolution angulaire : télescope unique, télescope double, N télescopes

Q1. ${\lambda }_0=2,0\mu \mathrm{m}$ est au-delà du rouge du visible ($0,4$ à $0,8\mu \mathrm{m}$) : ces ondes appartiennent à l'infrarouge (proche infrarouge, qui s'étend jusqu'à quelques micromètres).

Q2. Les points $A$ et $B$ sont à l'infini : tous les rayons issus de l'un d'eux arrivent parallèles entre eux sur la lentille, et leur image est dans le plan focal image. On travaille dans les conditions de Gauss (rayons paraxiaux, $ϵ\ll 1$), qui assurent le stigmatisme approché.

• $A$ est sur l'axe : son image est le foyer image, $A^{\prime }=F^{\prime }$.
• $B$ est vu sous l'angle $ϵ/2$ : le rayon passant par le centre optique $O$ n'est pas dévié, et le rayon passant par le foyer objet $F$ ressort parallèle à l'axe ; ils se coupent en $B^{\prime }$, dans le plan focal image (tous les rayons issus de $B$, parallèles entre eux, y convergent).

Dans le triangle $O{F}^{\prime }{B}^{\prime }$, $\tan (ϵ/2)=F^{\prime }{B}^{\prime }/f^{\prime }$ ; dans les conditions de Gauss, $\tan (ϵ/2)\simeq ϵ/2$, d'où

$$\boxed{A^{\prime }{B}^{\prime }=f^{\prime }\frac{ϵ}{2}}.$$

Les deux images ne sont distinguées que si elles tombent sur deux cellules différentes du capteur, c'est-à-dire si $A^{\prime }{B}^{\prime }\ge a$ : $ϵ\ge 2a/f^{\prime }$. La résolution angulaire du capteur est donc

$$\boxed{r_{\mathrm{cap}}=\frac{2a}{f^{\prime }}}$$

(la séparation angulaire minimale entre les deux points, $ϵ/2$, vaut $a/f^{\prime }$ : le facteur 2 vient de ce que $B$ est au bord et non à l'autre extrémité de la galaxie).

Q3. La lumière est diffractée par la monture de diamètre $D$ : l'ouverture angulaire (demi-largeur) de la tache est de l'ordre de

$${\theta }_{\mathrm{d}}\sim \frac{{\lambda }_0}{D}$$

(le calcul pour une pupille circulaire donne $\sin {\theta }_{\mathrm{d}}=1,22{\lambda }_0/D$ pour le premier anneau noir ; seul l'ordre de grandeur est demandé). Dans le plan focal, la tache a donc une taille caractéristique (rayon) $f^{\prime }{\lambda }_0/D$. Les deux images sont séparées si $A^{\prime }{B}^{\prime }=f^{\prime }ϵ/2>f^{\prime }{\lambda }_0/D$, soit $ϵ>2{\lambda }_0/D$ :

$$\boxed{r_{\mathrm{diff}}\sim \frac{2{\lambda }_0}{D}}.$$

Cette limite, liée à la seule nature ondulatoire de la lumière, décroît quand $D$ augmente.

Q4. La résolution effective est limitée par le plus contraignant des deux effets : $r=\max (r_{\mathrm{cap}},r_{\mathrm{diff}})$. Augmenter $D$ fait décroître $r_{\mathrm{diff}}$ ; dès que $r_{\mathrm{diff}}<r_{\mathrm{cap}}$, la tache de diffraction est plus petite qu'une cellule et c'est le capteur qui limite : la résolution n'augmente plus. Le diamètre limite vérifie $2{\lambda }_0/D_{\max }=2a/f^{\prime }$ :

$$\boxed{D_{\max }=\frac{{\lambda }_0{f}^{\prime }}{a}}=\frac{2,0\times 10^{-6}\times 10}{1,0\times 10^{-6}}=2\times 10^1\mathrm{m}.$$

(Avec une autre convention sur la « taille » de la tache — diamètre au lieu du rayon — on trouverait le double : seul l'ordre de grandeur, quelques dizaines de mètres, a un sens.) Commentaire : c'est justement la taille des plus grands télescopes actuels (Keck $10\mathrm{m}$, VLT $8\mathrm{m}$, ELT en construction $39\mathrm{m}$) ; au-delà, un plus grand miroir n'améliore plus la résolution avec ce capteur (il faudrait des pixels plus petits ou une focale plus longue), il ne fait que collecter davantage de lumière. La résolution atteinte, $r_{\mathrm{cap}}=2\times 10^{-7}\mathrm{rad}$, suppose de plus que la turbulence atmosphérique soit corrigée (optique adaptative).

Q5. La source est à l'infini dans la direction $\theta$ : l'onde reçue est plane et, d'après le théorème de Malus, ses surfaces d'onde sont des plans perpendiculaires aux rayons. Le plan d'onde $\Sigma$ passant par l'entrée $P_1$ de $(T_1)$ coupe le rayon arrivant en $P_2$ (entrée de $(T_2)$) en $H$ ; les chemins optiques de la source à $P_1$ et à $H$ sont égaux, donc

$$\boxed{{\delta }_0(\theta )=(S{P}_2)-(S{P}_1)=H{P}_2=b_0\sin \theta }$$

(triangle rectangle $P_{1}H{P}_2$ d'hypoténuse $P_1{P}_2=b_0$, les deux télescopes identiques ayant leurs entrées décalées de $b_0$ comme leurs pieds).