Corrigé Mines-Ponts 2026 Physique II MP — Partie II (Q14 à Q22) : Rotation galactique, matière noire et formation d'étoiles

Q14. Système : l'étoile $E$, de masse $M_{\odot }$. Référentiel : galactocentrique, lié au trou noir $T$ supposé fixe, considéré comme galiléen. Bilan des forces : la seule attraction gravitationnelle de $T$, $\overrightarrow{F}=-\frac{G{M}_T{M}_{\odot }}{r^2}{\overrightarrow{e}}_r$, force centrale.

Le mouvement est circulaire de rayon $r$ : en coordonnées polaires $(r,\phi )$ de centre $T$ dans le plan $(T,XY)$, avec $r$ constant,

$$\overrightarrow{v}=r\dot{\phi }{\overrightarrow{e}}_{\phi },\overrightarrow{a}=-r{\dot{\phi }}^2{\overrightarrow{e}}_r+r\ddot{\phi }{\overrightarrow{e}}_{\phi }.$$

Le principe fondamental de la dynamique projeté sur ${\overrightarrow{e}}_{\phi }$ donne $M_{\odot }r\ddot{\phi }=0$ (la force n'a pas de composante orthoradiale) : $\dot{\phi }$ est constant, donc la norme $v=r\left|\dot{\phi }\right|$ de la vitesse aussi. Le mouvement est circulaire uniforme (le vecteur $\overrightarrow{v}$, lui, tourne). La projection sur ${\overrightarrow{e}}_r$ donne

$$-M_{\odot }\frac{v^2}{r}=-\frac{G{M}_T{M}_{\odot }}{r^2}⟹\boxed{v(r)=\sqrt{\frac{G{M}_T}{r}}},\boxed{\tau =\frac{2\pi r}{v}=2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G{M}_T}}}.$$

Application au Soleil : $r=8\mathrm{kpc}=8\times 10^3\times 3\times 10^{16}=2,4\times 10^{20}\mathrm{m}$ et $M_T=4\times 10^6\times 2\times 10^{30}=8\times 10^{36}\mathrm{kg}$ (la liste de données en fin de sujet imprime « $1M_{\odot }=2^{30}\mathrm{kg}$ » : coquille pour $2\times 10^{30}\mathrm{kg}$, valeur donnée dans le texte), d'où $G{M}_T\simeq 5\times 10^{26}{\mathrm{m}}^3\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$ et

$$v\simeq \sqrt{\frac{5,4\times 10^{26}}{2,4\times 10^{20}}}\simeq 1,5\times 10^3\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1},\text{soit }v\sim 1\mathrm{km}\cdot {\mathrm{s}}^{-1},$$

$$\tau \simeq \frac{2\pi \times 2,4\times 10^{20}}{1,5\times 10^3}\simeq 1\times 10^{18}\mathrm{s}\simeq 3\times 10^{10}\mathrm{ans}.$$

C'est environ cent fois moins que les $200\mathrm{km}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ observés : le trou noir seul ne peut pas expliquer le mouvement du Soleil. Pour obtenir $200\mathrm{km}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ à $8\mathrm{kpc}$, il faudrait une masse attractive $v^{2}r/G=(2\times 10^5{)}^2\times 2,4\times 10^{20}/6,7\times 10^{-11}\simeq 1\times 10^{41}\mathrm{kg}$, soit $7\times 10^{10}{M}_{\odot }$ : c'est la masse de la galaxie elle-même qui gouverne le mouvement.

Q15. Les forces de Coulomb et de Newton entre deux points ont la même structure en $1/r^2$ :

$${\overrightarrow{F}}_{1\to 2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{r^2}{\overrightarrow{u}}_{12}⟷{\overrightarrow{F}}_{1\to 2}=-G\frac{m_1{m}_2}{r^2}{\overrightarrow{u}}_{12}.$$

On passe de l'une à l'autre par les correspondances $q\leftrightarrow m$, $\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\leftrightarrow -G$ (soit $\frac{1}{{\epsilon }_0}\leftrightarrow -4\pi G$), et donc $\overrightarrow{E}=\overrightarrow{F}/q\leftrightarrow \overrightarrow{g}=\overrightarrow{F}/m$. Le théorème de Gauss de l'électrostatique, $\oint {\oint }_S\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=Q_{\mathrm{int}}/{\epsilon }_0$, conséquence de cette seule structure en $1/r^2$ (et du principe de superposition), se transpose donc en

$$\oint {\oint }_S\overrightarrow{g}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=-4\pi G{M}_{\mathrm{int}}.$$

Le signe « $-$ » traduit le caractère toujours attractif de la gravitation (les masses sont positives). Ce que le correcteur attend : une analogie explicitée terme à terme à partir des forces, avec des correspondances ($\leftrightarrow$), pas des égalités.

Q16. Symétries et invariances (le trou noir est négligé ; le disque est assimilé au vide) : la distribution de masse est invariante par toute rotation autour de $T$, donc $\Vert \overrightarrow{g}\Vert$ ne dépend que de $r$ ; tout plan contenant $T$ et $M$ est un plan de symétrie de la distribution, donc $\overrightarrow{g}(M)$, vecteur polaire, appartient à tous ces plans, c'est-à-dire à leur intersection $(TM)$. Ainsi $\overrightarrow{g}=g(r){\overrightarrow{e}}_r$.

Surface de Gauss : la sphère de centre $T$ et de rayon $r$, sur laquelle $\overrightarrow{g}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=g(r)\mathrm{d}S$ ; son flux vaut $4\pi r^{2}g(r)=-4\pi G{M}_{\mathrm{int}}(r)$.