Corrigé Mines-Ponts 2026 Physique II MPI — Partie I (Q1 à Q6) : Champ d'un solénoïde infini puis semi-infini : Ampère, flux conservatif, lignes de champ

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Physique II MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le problème étudie le « jumping ring » d'Elihu Thomson (1877) : une bobine verticale, dans laquelle est inséré un noyau ferromagnétique, est alimentée en courant alternatif ; un anneau conducteur posé sur le haut de la bobine est propulsé vers le haut (la figure 1 du sujet est une photographie du dispositif : bobine, barreau vertical, anneau enfilé sur le barreau). Les applications numériques se donnent avec un seul chiffre significatif ; $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} H \cdot m^{- 1}$ , $g = 9, 81 m \cdot s^{- 2}$ .

Coordonnées cylindriques $(r, θ, z)$ de base $(e_{r}, e_{θ}, e_{z})$ . Solénoïde d'axe $(O z)$ , de rayon $b = 5 cm$ , infini selon $z$ , parcouru par un courant constant $I$ , à $n$ spires par unité de longueur (figure 2).

{Figure 2 — Solénoïde infini (courant sortant à gauche, entrant à droite)}

Q1. Par symétries et invariances, simplifier la forme de $B (M)$ en un point $M (r, θ, z)$ .
Q2. Le champ étant supposé nul à l'extérieur, déterminer $B$ à l'intérieur par le théorème d'Ampère.
Q3. On ajoute un noyau ferromagnétique de perméabilité relative $μ_{r} = 100$ : que devient le champ ? Le calculer pour $I = 10, 0 A$ et $n = 1000$ spires par mètre.

On coupe le solénoïde en $z = 0$ et on ne garde que la partie $z < 0$ (solénoïde semi-infini) ; on cherche $B_{r} (r, z)$ pour $z > 0$ , près de l'axe.

Q4. Écrire les quatre équations de Maxwell (densités $ρ$ et $j$ ) et montrer à partir de l'une d'elles que le flux de $B$ à travers toute surface fermée est nul.

On admet sur l'axe, à la hauteur $z$ au-dessus de l'extrémité : $B_{z} (z) = \frac{μ _{0} n I}{2} (1 - \frac{z}{b ^{2} + z ^{2}})$ .

Q5. Par un bilan de flux sur un petit cylindre d'axe $(O z)$ , de rayon $r$ , compris entre $z$ et $z + d z$ , relier $B_{r} (r, z)$ et $B_{z} (z)$ , puis montrer que près de l'axe $B_{r} (r, z) = \frac{μ _{0} n I r}{4} \frac{b ^{2}}{( b ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}}$ .
Q6. Pour $z ≫ b$ , donner les équivalents (un seul terme) de $B_{r}$ et $B_{z}$ ; à partir de l'équation $d ℓ \land B = 0$ des lignes de champ, montrer qu'elles s'écrivent $r = k z$ ( $k$ constante) et les dessiner près de l'axe.

Corrigé

Q1. On travaille en régime stationnaire ; les spires sont assimilées à des courants purement orthoradiaux, $j = j e_{θ}$ (on néglige le pas de l'hélice).

Symétries. Le plan $(M, e_{r}, e_{z})$ , qui contient l'axe et le point $M$ , est perpendiculaire aux courants : c'est un plan d'antisymétrie de la distribution. Le champ magnétique, pseudo-vecteur, appartient à tout plan d'antisymétrie des courants passant par $M$ : $B (M) = B_{r} e_{r} + B_{z} e_{z}$ . Le plan passant par $M$ et perpendiculaire à l'axe, $(M, e_{r}, e_{θ})$ , contient les courants des spires (dans le modèle de spires circulaires) : c'est un plan de symétrie, et $B (M)$ lui est perpendiculaire, d'où $B_{r} = 0$ .

Invariances. La distribution est invariante par toute rotation autour de $(O z)$ et, le solénoïde étant infini, par toute translation selon $(O z)$ : les composantes ne dépendent ni de $θ$ ni de $z$ . Finalement

$B (M) = B (r) e_{z} .$

Q2. On applique le théorème d'Ampère au contour rectangulaire $C = A B C D$ situé dans un plan méridien : $A B$ parallèle à l'axe, à l'intérieur (distance $r < b$ de l'axe), de longueur $h$ , parcouru dans le sens de $+ e_{z}$ ; $C D$ parallèle à l'axe, à l'extérieur, parcouru selon $- e_{z}$ ; $B C$ et $D A$ radiaux. L'orientation de $C$ fixe, par la règle de la main droite, le sens positif des courants enlacés ; avec le sens de $I$ de la figure 2 (courant sortant à gauche, entrant à droite, donc tournant dans le sens direct autour de $+ e_{z}$ vu du dessus), les $nh$ spires traversant le rectangle sont comptées positivement.

$\oint_{C} B \cdot d ℓ = μ_{0} I_{enl} .$

Sur $A B$ : $B (r) h$ ; sur $B C$ et $D A$ : $B \cdot d ℓ = 0$ car $B$ est axial et $d ℓ$ radial ; sur $C D$ : $0$ car $B = 0$ à l'extérieur. Le courant enlacé vaut $I_{enl} = nh I$ . D'où $B (r) h = μ_{0} nh I$ , soit

$B = μ_{0} n I e_{z} (r < b)$

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