Corrigé Mines-Ponts 2026 Physique II MPI — Partie II (Q7 à Q13) : Lévitation par induction : loi de Lenz, inductance mutuelle, force de Laplace moyenne

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Physique II MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

La bobine inductrice est assimilée au demi-solénoïde de la partie I (rayon $b$ , $n$ spires par unité de longueur, extrémité en $O$ , sans noyau), parcouru par $i_{1} (t) = I_{1} cos (ω t)$ . À l'altitude $z$ se trouve un petit anneau de cuivre d'axe $(O z)$ , formé d'une seule spire : rayon $a = 1 cm$ , résistance $R = 1 0^{- 4} Ω$ , inductance propre $L = 10 nH$ ; il est parcouru par $i_{2} (t)$ (figure 3). Résultats de la partie I utilisables près de l'axe : $B_{z} = \frac{μ _{0} n I}{2} (1 - \frac{z}{b ^{2} + z ^{2}})$ et $B_{r} = \frac{μ _{0} n I r}{4} \frac{b ^{2}}{( b ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}}$ .

{Figure 3 — Lévitation de l'anneau de Thomson}

Q7. Énoncer la loi de Lenz ; comment prévoir le sens du courant $i_{2}$ ?
Q8. Donner le champ magnétique total $B (r, z, t)$ créé par le demi-solénoïde parcouru par $i_{1} (t)$ .
Q9. Par la loi de Faraday, montrer que $R i_{2} + L \frac{d i _{2}}{d t} + M (z) \frac{d i _{1}}{d t} = 0$ et exprimer l'inductance mutuelle $M (z)$ en fonction de $μ_{0}$ , $n$ , $a$ , $b$ , $z$ .
Q10. En notation complexe, déterminer $i_{2}$ , puis écrire $i_{2} (t) = I_{2} (z) cos (ω t + φ)$ : exprimer $I_{2} (z)$ (en fonction de $M$ , $R$ , $L$ , $ω$ , $I_{1}$ ), $cos φ$ et $sin φ$ .
Q11. Montrer que la composante radiale $F_{r}$ de la résultante des forces de Laplace sur l'anneau est nulle.
Q12. Montrer que $⟨ F_{z} ⟩_{t} = \frac{K ( z )}{( b ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}}$ (1), et exprimer $K (z)$ en fonction de $I_{2} (z)$ , $φ$ , $μ_{0} n I_{1}$ , $a$ et $b$ .
Q13. Que vaut $⟨ F_{z} ⟩_{t}$ si l'on néglige l'inductance propre de l'anneau ? Que faire à l'anneau pour empêcher sa lévitation ?

Corrigé

Conventions.

On oriente l'anneau par $e_{θ}$ (même sens que les spires de la bobine lorsque $i_{1} > 0$ ) : $i_{2}$ est compté positivement dans le sens de $e_{θ}$ et le vecteur surface du disque qu'il délimite est $π a^{2} e_{z}$ (règle de la main droite). Avec cette convention, $i_{1} > 0$ crée un champ selon $+ e_{z}$ (partie I). On se place dans l'ARQS : à la fréquence du secteur, les dimensions du dispositif sont très petites devant la longueur d'onde $c / f \approx 6 \times 1 0^{6} m$ , et les expressions magnétostatiques restent valables avec $I$ remplacé par $i_{1} (t)$ .

Q7. Loi de Lenz : les effets de l'induction (courant induit, force de Laplace qui en résulte) s'opposent, par leurs conséquences, aux causes qui leur ont donné naissance.

Pour prévoir le sens de $i_{2}$ , on raisonne sur le flux de $B_{1}$ à travers l'anneau orienté. Lorsque $i_{1}$ croît (et est positif), le flux $Φ_{1} = \iint B_{1} \cdot d S$ à travers l'anneau, orienté par $e_{z}$ , croît. Le courant induit $i_{2}$ doit créer à travers l'anneau un flux propre $L i_{2}$ qui s'oppose à cette variation : il est donc négatif, c'est-à-dire que $i_{2}$ circule en sens inverse de $i_{1}$ . Plus généralement, $i_{2}$ est de signe opposé à $d i_{1} / d t$ (en négligeant $L$ ). Conséquence mécanique : deux courants de sens opposés se repoussent, l'anneau est chassé vers les régions de champ plus faible, c'est-à-dire vers le haut.

Ce que le correcteur attend : un raisonnement sur la variation du flux à travers l'anneau orienté, pas « le champ de l'anneau s'oppose au champ de la bobine » (c'est la variation qui est combattue).

Q8. D'après Q5, dans l'ARQS, près de l'axe et pour $z > 0$ ,

$B (r, z, t) = \frac{μ _{0} n i _{1} ( t )}{4} \frac{r b ^{2}}{( b ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}} e_{r} + \frac{μ _{0} n i _{1} ( t )}{2} (1 - \frac{z}{b ^{2} + z ^{2}}) e_{z}$

avec $i_{1} (t) = I_{1} cos (ω t)$ .

Q9. Flux mutuel. L'anneau est petit et proche de l'axe : on confond $B_{z}$ sur le disque de rayon $a$ avec sa valeur sur l'axe (correction d'ordre $a^{2}$ ). Le flux du champ de la bobine à travers l'anneau orienté vaut

$Φ_{1 \to 2} = B_{z} (z, t) π a^{2} = M (z) i_{1} (t), M (z) = \frac{μ _{0} nπ a ^{2}}{2} (1 - \frac{z}{b ^{2} + z ^{2}}) > 0.$

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