Corrigé Mines-Ponts 2026 Physique II MPI — Partie III (Q14 à Q22) : Envol de l'anneau : travail, énergie cinétique, frottement de l'air, tir incliné en Python (Euler)

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Physique II MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Un anneau de masse $m = 3 g$ est enfilé sur un barreau ferromagnétique vertical de hauteur $ℓ = 1 m$ posé sur la bobine ; le courant sinusoïdal de la bobine exerce sur l'anneau une force ascendante de la forme (1) (partie II). Pour $z ≫ b$ ( $z$ : hauteur de l'anneau au-dessus de la bobine), la force moyenne devient

$⟨ F_{z} ⟩_{t} = \frac{K ^{'}}{z ^{5}} . (2)$

À l'équilibre, l'anneau lévite à $z_{e q} = 15 cm$ . On prend $g = 9, 81 m \cdot s^{- 2}$ ; un chiffre significatif pour les applications numériques.

{Figure 4 — « Jumping ring » : bobine, barreau (gris) et anneau ; $O$ au sommet du barreau}

Q14. Exprimer puis calculer $K^{'}$ .

On utilise désormais (2) ; l'anneau part du repos à $z_{0} = 5 cm$ au-dessus de la bobine.

Q15. Calculer le travail $W_{1}$ de cette force et le travail $W_{2}$ du poids entre $z_{0}$ et $ℓ$ .
Q16. En négligeant les frottements sur le barreau, donner l'énergie cinétique $E_{c, 0}$ de l'anneau quand il quitte le barreau, sa vitesse $v_{0}$ , puis la hauteur $z_{m a x}$ atteinte sans frottement de l'air (la force de Laplace n'agit plus hors du barreau).

Le barreau est vertical, $O$ est au sommet du barreau ; l'anneau, assimilé à un point de vitesse $v = v e_{z}$ , subit la résistance de l'air $f = - α v v$ avec $v = v$ , $α > 0$ .

Q17. Établir l'équation différentielle vérifiée par $v$ , la résoudre pendant la montée, en déduire la durée $t_{1}$ de la montée en fonction de $g$ , $v_{0}$ , $β = α / m$ , et l'estimer pour $β = 2 \times 1 0^{- 5} m^{- 1}$ .

Le barreau est incliné d'un angle $θ$ par rapport à $e_{x}$ dans le plan $(O, e_{x}, e_{z})$ : $v_{0} = v_{0} (cos θ e_{x} + sin θ e_{z})$ ; l'air exerce désormais $f = - γ v$ , $γ > 0$ .

Q18. Établir les équations du mouvement en $v_{x}$ et $v_{z}$ .
Q19. Écrire en Python une fonction euler(u0,F,dt,N) appliquant le schéma d'Euler explicite à une équation différentielle d'ordre 1.
Q20. Définir les fonctions Fx, Fz et les listes Vx, Vz à l'aide d'euler.
Q21. Définir les listes des positions X et Z à partir de Vx et Vz.
Q22. Écrire fleche(X,Z) (hauteur maximale atteinte) et portee(X,Z) (distance parcourue quand le projectile retombe au sol).

Corrigé

Q14. Origine de la forme (2). Pour $z ≫ b$ , $(b^{2} + z^{2})^{3/2} ≃ z^{3}$ et, d'après Q9--Q10, $K (z) \propto I_{2} (z) \propto M (z) ≃ \frac{μ _{0} nπ a ^{2} b ^{2}}{4 z ^{2}}$ (développement de Q6) : la relation (1) devient bien $⟨ F_{z} ⟩_{t} ≃ K^{'} / z^{5}$ , avec $K^{'}$ indépendant de $z$ . À $z_{e q} = 15 cm$ , on a seulement $z_{e q} / b = 3$ : l'approximation est grossière (erreur d'environ $20 %$ sur $z^{3}$ ), mais suffisante pour des résultats à un chiffre significatif.

Système : l'anneau, de masse $m$ . Référentiel : terrestre, supposé galiléen. Forces : le poids $- m g e_{z}$ , la force de Laplace moyenne $\frac{K ^{'}}{z ^{5}} e_{z}$ (on raisonne sur la force moyenne, l'inertie de l'anneau filtrant les oscillations à $2 ω$ ) ; aucune réaction du barreau selon $e_{z}$ en l'absence de frottement. À l'équilibre en $z_{e q}$ , le principe fondamental de la dynamique projeté sur $e_{z}$ donne

$\frac{K ^{'}}{z _{e q}^{5}} - m g = 0 ⟹ K^{'} = m g z_{e q}^{5}$

$K^{'} = 3 \times 1 0^{- 3} \times 9, 81 \times (0, 15)^{5} = 2, 2 \times 1 0^{- 6} \approx 2 \times 1 0^{- 6} N \cdot m^{5} .$

Unité : $⟨ F_{z} ⟩ z^{5}$ s'exprime en $N \cdot m^{5}$ ( $= J \cdot m^{4}$ ). On conserve $K^{'} = 2, 23 \times 1 0^{- 6} N \cdot m^{5}$ pour les calculs suivants, sans arrondir en cours de route.

Q15. La force n'est pas constante : son travail se calcule par une intégrale le long du déplacement $d O M = d z e_{z}$ ,

$W_{1} = \int_{z_{0}}^{ℓ} \frac{K ^{'}}{z ^{5}} d z = \frac{K ^{'}}{4} (\frac{1}{z _{0}^{4}} - \frac{1}{ℓ ^{4}}) = \frac{m g z _{e q}^{5}}{4} (\frac{1}{z _{0}^{4}} - \frac{1}{ℓ ^{4}}) .$

Avec $1/ z_{0}^{4} = 1, 6 \times 1 0^{5} m^{- 4}$ et $1/ ℓ^{4} = 1 m^{- 4}$ (négligeable) :

$W_{1} = \frac{2 , 23 \times 1 0 ^{- 6}}{4} \times 1, 6 \times 1 0^{5} = 8, 9 \times 1 0^{- 2} J \approx 9 \times 1 0^{- 2} J .$

Sans calculatrice, il est plus sûr d'écrire $W_{1} ≃ \frac{m g z _{e q}}{4} (\frac{z _{e q}}{z _{0}})^{4} = \frac{2 , 9 \times 1 0 ^{- 2} \times 0 , 15 \times 81}{4}$ (car $z_{e q} / z_{0} = 3$ ), ce qui redonne $8, 9 \times 1 0^{- 2} J$ . Le poids, force constante, est résistant pendant la montée :

$W_{2} = - m g (ℓ - z_{0}) = - 3 \times 1 0^{- 3} \times 9, 81 \times 0, 95 = - 2, 8 \times 1 0^{- 2} J \approx - 3 \times 1 0^{- 2} J .$

Ce que le correcteur attend : $W_{2} < 0$ ; l'essentiel de $W_{1}$ est fourni tout près de la bobine (le terme en $1/ ℓ^{4}$ est $1, 6 \times 1 0^{5}$ fois plus petit).

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