Corrigé Mines-Ponts 2026 Physique II MPI — Partie IV (Q23 à Q27) : Échauffement de l'anneau par effet Joule : densité de courant, loi de Newton, bilan d'énergie

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Physique II MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

L'anneau de cuivre chauffe par effet Joule. On le modélise par un cylindre creux d'axe $(O z)$ (figure 5) : rayon $a$ , épaisseur $e = 1 mm ≪ a$ , hauteur $d = 5 mm$ ; conductivité électrique $γ = 6 \times 1 0^{7} S \cdot m^{- 1}$ , masse volumique $ρ = 9 \times 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$ , capacité thermique massique $c = 0, 38 kJ \cdot K^{- 1} \cdot k g^{- 1}$ . Il est parcouru par $i_{2} (t) = I_{2} cos (ω t)$ avec $I_{2} = 15 A$ , la densité de courant $j_{2}$ étant uniforme sur la section de l'anneau.

{Figure 5 — Forme cylindrique de l'anneau}

Q23. Dans quelle direction le courant circule-t-il ? Exprimer $j_{2} (t)$ en fonction de $I_{2}$ , $ω$ , $t$ et des dimensions de l'anneau.
Q24. Calculer la valeur moyenne temporelle $p_{J}$ de la puissance volumique dissipée par effet Joule.

La température $T (t)$ de l'anneau est supposée uniforme ; l'anneau échange avec l'air de la pièce, à $T_{0} = 300 K$ constante, par ses deux faces latérales, avec le coefficient de conducto-convection $h = 0, 5 W \cdot m^{- 2} \cdot K^{- 1}$ ; $T (0) = T_{0}$ .

Q25. Avec $e ≪ a$ , exprimer le flux thermique conducto-convectif total entre l'air et l'anneau en fonction de $h$ , $a$ , $d$ , $T_{0}$ et $T (t)$ .
Q26. Par un bilan d'énergie sur l'anneau entier, établir $\frac{d T}{d t} + \frac{T - T _{0}}{τ} = A$ et exprimer $τ$ et $A$ en fonction de $h$ , $c$ , $ρ$ , $γ$ , $I_{2}$ , $e$ , $d$ .
Q27. Déterminer $T (t)$ . Sachant que le cuivre fond à $θ_{fus} = 108 5^{\circ} C$ , l'anneau va-t-il fondre ?

Corrigé

Q23. Le courant de l'anneau est le courant induit $i_{2}$ de la partie II : il circule autour de l'axe, dans le sens de $e_{θ}$ (compté algébriquement). La densité de courant est donc orthoradiale, $j_{2} = j_{2} (t) e_{θ}$ .

L'intensité est le flux de $j_{2}$ à travers une section droite de l'anneau, c'est-à-dire un rectangle méridien d'épaisseur $e$ (selon $e_{r}$ ) et de hauteur $d$ (selon $e_{z}$ ), orienté par $e_{θ}$ . La densité étant uniforme sur cette section d'aire $S = e d$ ,

$i_{2} (t) = \iint_{S} j_{2} \cdot d S = j_{2} (t) e d ⟹ j_{2} (t) = \frac{I _{2} cos ( ω t )}{e d} e_{θ} .$

Amplitude : $I_{2} / (e d) = 15/ (1 0^{- 3} \times 5 \times 1 0^{- 3}) = 3 \times 1 0^{6} A \cdot m^{- 2}$ .

Ce que le correcteur attend : $j = i / S$ avec $S$ l'aire de la section traversée, et non $i / V$ .

Q24. Loi d'Ohm locale $j_{2} = γ E$ ; la puissance volumique cédée par le champ aux porteurs, dissipée par effet Joule, vaut (loi de Joule locale)

$p (t) = j_{2} \cdot E = \frac{j _{2} ^{2}}{γ} = \frac{I _{2}^{2} cos ^{2} ( ω t )}{γ e ^{2} d ^{2}} .$

Avec $⟨ cos^{2} (ω t) ⟩_{t} = \frac{1}{2}$ :

$p_{J} = ⟨ p ⟩_{t} = \frac{I _{2}^{2}}{2 γ e ^{2} d ^{2}},$

$p_{J} = \frac{1 5 ^{2}}{2 \times 6 \times 1 0 ^{7} \times ( 1 0 ^{- 3} ) ^{2} \times ( 5 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}} = 7, 5 \times 1 0^{4} \approx 8 \times 1 0^{4} W \cdot m^{- 3} .$

Cohérence : la puissance totale $p_{J} (2 π a e d)$ est bien $\frac{1}{2} R_{anneau} I_{2}^{2}$ avec la résistance $R_{anneau} = \frac{2 π a}{γ e d}$ d'un conducteur de longueur $2 π a$ et de section $e d$ .

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →