Corrigé Mines-Ponts 2026 Physique II PC — Partie I (Q1 à Q10) : Taille classique de l'électron et taille de l'atome par l'inégalité de Heisenberg

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Physique II PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le sujet suit quelques réflexions de Richard Feynman. Applications numériques à deux chiffres significatifs, sans calculatrice. Données : $e = 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ ; $c = 3, 0 \times 1 0^{8} m \cdot s^{- 1}$ ; $m_{e} = 9, 1 \times 1 0^{- 31} kg$ ; $E_{m, e} = m_{e} c^{2} = 0, 5 MeV$ ; $ε_{0} = 8, 9 \times 1 0^{- 12} F \cdot m^{- 1}$ ; $χ = e / (4 π ε_{0}) ≃ 1, 5 \times 1 0^{- 9}$ (SI) ; $ℏ ≃ 1, 0 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ ; $α = e^{2} / (4 π ε_{0} ℏ c) ≃ 1/137$ .

I.A — Taille de l'électron.

L'électron (masse $m$ , charge $- e$ ) est d'abord un point placé à l'origine $O$ d'un repère cartésien $(x, y, z)$ .

Q1. Représenter l'électron, la base $(e_{x}, e_{y}, e_{z})$ , un point $M$ de coordonnées sphériques $r > 0$ , $θ \in [0, π /2]$ , $φ \in [0, π /2 [$ et la base locale $(e_{r}, e_{θ}, e_{φ})$ .
Q2. Donner le champ $E (M)$ créé par l'électron.
Q3. Donner la densité volumique d'énergie électrique $w$ ; en déduire l'énergie électrostatique totale $W_{e}$ . Conclure.

L'électron devient une boule de rayon $r_{e}$ , de densité volumique de charge $ρ$ uniforme.

Q4. Par symétries et invariances, déterminer $E (M)$ dans tout l'espace, puis $W_{e}$ en fonction de $e$ , $r_{e}$ , $ε_{0}$ .
Q5. En égalant $W_{e}$ à l'énergie de masse $E_{m, e}$ , exprimer $r_{e}$ en fonction de $e$ , $E_{m, e}$ , $χ$ ; application numérique, commentaire.

I.B — Taille d'un atome.

L'électron est décrit par une fonction d'onde $Ψ (M, t)$ .

Q6. Interpréter $∣ Ψ (M, t) ∣^{2}$ (postulat de Born).

Modèle de Feynman de l'atome d'hydrogène (noyau fixe) : la dispersion en position de l'électron est une longueur $a$ , taille de l'atome ; l'écart-type $⟨ p^{2} ⟩$ de l'impulsion est estimé par $Δ p$ , avec $Δ x Δ p ≃ ℏ$ .

Q7. Exprimer $⟨ p^{2} ⟩$ en fonction de $a$ , puis l'énergie cinétique moyenne $⟨ E_{c} ⟩$ en fonction de $ℏ$ , $m_{e}$ , $a$ .
Q8. En déduire l'énergie mécanique moyenne $⟨ E_{m} ⟩$ en fonction de $a$ .
Q9. La taille $a_{0}$ de l'état fondamental minimise $⟨ E_{m} ⟩$ : exprimer $a_{0}$ ; application numérique, commentaire.
Q10. Exprimer l'énergie $⟨ E_{m, 0} ⟩$ de l'état fondamental en fonction de $E_{m, e}$ et $α$ ; en déduire l'énergie d'ionisation $E_{i}$ en électronvolts.

Corrigé

Q1. Les coordonnées sphériques de $M$ sont : $r = O M$ (distance à l'origine), $θ$ l'angle entre $e_{z}$ et $O M$ (colatitude, $θ \in [0, π]$ ), $φ$ l'angle entre $e_{x}$ et la projection $O H$ de $O M$ sur le plan $(O, e_{x}, e_{y})$ (longitude). La base locale est directe : $e_{r} = O M / r$ ; $e_{θ}$ tangent au méridien de $M$ , dans le sens des $θ$ croissants ; $e_{φ}$ tangent au parallèle de $M$ , dans le sens des $φ$ croissants ( $e_{φ}$ est horizontal, parallèle au plan $(O, e_{x}, e_{y})$ ).

Ce que le correcteur attend : les trois coordonnées DÉFINIES (le rapport signale l'oubli fréquent de $r$ ), $θ$ mesuré depuis $e_{z}$ et non depuis le plan $(O, e_{x}, e_{y})$ , et une base locale directe $(e_{r}, e_{θ}, e_{φ})$ .

Q2. L'électron est une charge ponctuelle $- e$ immobile en $O$ ; d'après la loi de Coulomb, le champ électrostatique qu'il crée en $M$ est

$E (M) = - \frac{e}{4 π ε _{0} r ^{2}} e_{r} (r > 0),$

radial et dirigé vers l'électron (charge négative). Inutile de refaire le théorème de Gauss : c'est le champ d'une charge ponctuelle, résultat de cours.

Q3. La densité volumique d'énergie électrique est

$w = \frac{ε _{0} E ^{2}}{2} = \frac{e ^{2}}{32 π ^{2} ε _{0} r ^{4}} (J \cdot m^{- 3}) .$

L'énergie totale s'obtient en intégrant sur tout l'espace, en découpant en coquilles sphériques d'épaisseur $d r$ (volume $d τ = 4 π r^{2} d r$ ) :

$W_{e} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{2}}{32 π ^{2} ε _{0} r ^{4}} 4 π r^{2} d r = \frac{e ^{2}}{8 π ε _{0}} \int_{0}^{+ \infty} \frac{d r}{r ^{2}} = \frac{e ^{2}}{8 π ε _{0}} [- \frac{1}{r}]_{0}^{+ \infty} = + \infty.$

L'intégrale diverge en $r \to 0$ : l'énergie électrostatique d'une charge ponctuelle est infinie. Conclusion : le modèle ponctuel de l'électron est incohérent en électromagnétisme classique (il faudrait une énergie infinie pour « construire » l'électron, donc, par $E = m c^{2}$ , une masse infinie) ; il faut donner une taille à l'électron, ou sortir du cadre classique.

Q4. Densité de charge. La charge $- e$ est répartie uniformément dans la boule : $ρ = - \frac{3 e}{4 π r _{e}^{3}}$ .

Symétries. Tout plan contenant $O$ et $M$ est un plan de symétrie de la distribution : $E (M)$ , vecteur polaire, appartient à tous ces plans, donc à leur intersection, la droite $(O M)$ : $E = E e_{r}$ . Invariances : la distribution est invariante par toute rotation autour de $O$ , donc $E$ ne dépend que de $r$ : $E = E (r) e_{r}$ .

Théorème de Gauss sur la sphère de centre $O$ et de rayon $r$ (surface fermée orientée vers l'extérieur) : $\oint \oint E \cdot d S = 4 π r^{2} E (r) = Q_{int} / ε_{0}$ .

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