Corrigé Mines-Ponts 2026 Physique II PC — Partie II.A (Q11 à Q16) : Onde plane dans le vide, vecteur de Poynting, photons et impulsion du champ

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Physique II PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Partie II, « le paradoxe de Feynman ». Base orthonormée $B = (e_{x}, e_{y}, e_{z})$ .

Q11. Écrire les équations de Maxwell dans le vide ; en déduire l'équation de propagation de $E (M, t)$ ; la nommer ; est-elle réversible ? Citer un autre domaine où elle apparaît (grandeur, constantes).

On considère l'onde $E (M, t) = E_{0} cos (ω t - k z) e_{x}$ , $k > 0$ .

Q12. Direction de propagation ? État de polarisation ? Pourquoi est-ce une O.P.P.H. ? Établir la relation de dispersion.
Q13. Déterminer $B (M, t)$ ; résumer les caractéristiques de l'onde.
Q14. Exprimer le vecteur de Poynting $Π$ , puis la puissance moyenne $⟨ P ⟩$ traversant une surface $S$ orthogonale à la propagation, en fonction de $c$ , $ε_{0}$ , $E_{0}$ , $S$ .

Photons d'énergie $E_{γ} = h ν$ ; $d N_{γ} / d t$ est le nombre moyen de photons traversant $S$ par unité de temps ; une particule de masse $m$ et d'impulsion $p$ a l'énergie $E = p \cdot p c^{2} + m^{2} c^{4}$ ; $n_{γ}$ est le nombre de photons par unité de volume.

Q15. Exprimer $d N_{γ} / d t$ en fonction de $⟨ P ⟩$ , $h$ , $c$ et $λ$ .
Q16. Exprimer l'énergie $δ E$ traversant $S$ en fonction de $n_{γ}$ et $ν$ ; la relier à $Π$ ; montrer que le faisceau porte une densité volumique d'impulsion $p_{γ, vol} = ξ E \land B$ et identifier $ξ$ .

Corrigé

Q11. Dans le vide, il n'y a ni charge ni courant : $ρ = 0$ et $j = 0$ . Les équations de Maxwell s'écrivent

$div E = 0 (Maxwell-Gauss), div B = 0 (Maxwell-Thomson),$

$rot E = - \frac{\partial B}{\partial t} (Maxwell-Faraday), rot B = μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} (Maxwell-Amp e ˋ re) .$

On prend le rotationnel de Maxwell-Faraday et on utilise l'identité rappelée, $rot (rot E) = grad (div E) - Δ E = - Δ E$ (car $div E = 0$ ). Les dérivées d'espace et de temps commutent :

$- Δ E = - \frac{\partial}{\partial t} rot B = - μ_{0} ε_{0} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} ⟹ Δ E - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} = 0, c = \frac{1}{μ _{0} ε _{0}} .$

C'est l'équation de d'Alembert (équation d'onde) à trois dimensions. Elle est réversible : elle ne contient qu'une dérivée temporelle d'ordre deux, donc elle est invariante par le changement $t \to - t$ ; si $E (M, t)$ est solution, $E (M, - t)$ l'est aussi (au contraire de l'équation de diffusion, d'ordre un en temps, qui décrit un phénomène irréversible). Autre domaine : la corde vibrante sans raideur, tendue sous la tension $T_{0}$ et de masse linéique $μ$ , dans l'approximation des petits mouvements : le déplacement transversal $y (x, t)$ vérifie $\frac{\partial ^{2} y}{\partial x ^{2}} - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} y}{\partial t ^{2}} = 0$ avec $c = T_{0} / μ$ (de même la surpression acoustique $p_{1}$ dans un fluide, avec $c = 1/ ρ_{0} χ_{S}$ ).

Q12. Le champ dépend de $z$ et $t$ par la seule combinaison $ω t - k z = ω (t - z / v_{φ})$ avec $k > 0$ : l'onde se propage selon $+ e_{z}$ , à la vitesse de phase $v_{φ} = ω / k$ .

Polarisation : $E$ garde la direction fixe $e_{x}$ en tout point et à tout instant : polarisation rectiligne selon $e_{x}$ (ce n'est pas la phase nulle du cosinus qui la justifie, mais la direction fixe du champ).

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →