Corrigé Mines-Ponts 2026 Physique II PC — Partie II.B (Q17 à Q23) : Paradoxe de Feynman : coquille chargée mise en rotation par induction

Q17. Source. Le moment $\overrightarrow{s}(t)=s(t){\overrightarrow{e}}_z$ est créé par une spire circulaire d'axe $(O,{\overrightarrow{e}}_z)$, parcourue par un courant orthoradial $i(t){\overrightarrow{e}}_{\phi }$.

• Invariance : la spire est invariante par toute rotation autour de $(O,{\overrightarrow{e}}_z)$ : les composantes des champs en base sphérique ne dépendent pas de $\phi$, seulement de $(r,\theta ,t)$.
• Symétries : tout plan contenant l'axe $(O,{\overrightarrow{e}}_z)$ — en particulier le plan méridien $(M,{\overrightarrow{e}}_r,{\overrightarrow{e}}_{\theta })$ passant par $M$ — coupe la spire orthogonalement au courant ; la symétrie par rapport à ce plan renverse le sens du courant : c'est un plan d'antisymétrie de la distribution de courants. Le plan $(O,{\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{e}}_y)$ de la spire est un plan de symétrie.

Principe de Curie : les effets ont au moins les symétries des causes. Le champ électrique induit, créé par le courant variable (par l'intermédiaire de $\partial \overrightarrow{B}/\partial t$), est un vecteur vrai (polaire) comme $\overrightarrow{j}$ : en un point d'un plan d'antisymétrie des courants, il est orthogonal à ce plan. Donc

$$\boxed{\overrightarrow{E}(M,t)=E_{\phi }(r,\theta ,t){\overrightarrow{e}}_{\phi },}$$

de seule composante orthoradiale, indépendante de $\phi$. (Le champ $\overrightarrow{B}$, pseudo-vecteur, est au contraire contenu dans le plan méridien : c'est bien le cas du champ dipolaire donné, porté par ${\overrightarrow{e}}_r$ et ${\overrightarrow{e}}_{\theta }$.) Ce que le correcteur attend : une étude de la distribution de COURANTS (pas de charges), dans la base sphérique adaptée, et la distinction plan de symétrie / d'antisymétrie des sources et comportement de $\overrightarrow{E}$ (vrai vecteur) et $\overrightarrow{B}$ (pseudo-vecteur).

Q18. Maxwell-Faraday, forme locale : $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$. Pour un contour fermé $\Gamma$ fixe, orienté, et une surface $\mathcal{S}$ quelconque s'appuyant sur $\Gamma$, orientée par la règle de la main droite, le théorème de Stokes donne la forme intégrale (loi de Faraday)

$${\oint }_{\Gamma }\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell }={\iint }_{\mathcal{S}}\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=-\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t},\Phi ={\iint }_{\mathcal{S}}\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}.$$

Choix de la surface : la calotte de la sphère de rayon $a$ allant du pôle (${\theta }^{\prime }=0$) jusqu'au cercle $\Gamma$ (${\theta }^{\prime }=\theta$). $\Gamma$ étant orienté selon ${\overrightarrow{e}}_{\phi }$, la normale de la calotte est $+{\overrightarrow{e}}_r$ (au pôle, ${\overrightarrow{e}}_r={\overrightarrow{e}}_z$ et le sens ${\overrightarrow{e}}_{\phi }$ est trigonométrique vu depuis $+z$). L'élément de surface vaut $\mathrm{d}\overrightarrow{S}=a^2\sin {\theta }^{\prime }\mathrm{d}{\theta }^{\prime }\mathrm{d}\phi {\overrightarrow{e}}_r$.

Composante radiale de $\overrightarrow{B}$ sur la sphère $r=a$ : avec $\overrightarrow{s}=s{\overrightarrow{e}}_z$ et ${\overrightarrow{e}}_z=\cos {\theta }^{\prime }{\overrightarrow{e}}_r-\sin {\theta }^{\prime }{\overrightarrow{e}}_{\theta }$, $\overrightarrow{s}\cdot {\overrightarrow{e}}_r=s\cos {\theta }^{\prime }$, d'où

$$\overrightarrow{B}\cdot {\overrightarrow{e}}_r=\frac{{\mu }_0}{4\pi a^3}\left(3s\cos {\theta }^{\prime }-s\cos {\theta }^{\prime }\right)=\frac{{\mu }_{0}s\cos {\theta }^{\prime }}{2\pi a^3}.$$

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