Corrigé Mines-Ponts 2026 Physique II PC — Partie III.A (Q24 à Q32) : Atome de Thomson : rayonnement de Larmor, force d'Abraham-Lorentz, perte de moment cinétique

Q24. Le noyau est une boule de rayon $a$ uniformément chargée en volume, de charge $+e$ : c'est la distribution de Q4 avec $-e\to +e$ et $r_e\to a$. Les mêmes symétries, invariances et le théorème de Gauss donnent, à l'intérieur ($r⩽a$) :

$$\boxed{{\overrightarrow{E}}_{\mathrm{noy}}(M)=\frac{er}{4\pi {\epsilon }_0{a}^3}{\overrightarrow{e}}_r=\frac{e}{4\pi {\epsilon }_0{a}^3}\overrightarrow{OM}.}$$

Pour l'électron sur l'axe $(O,{\overrightarrow{e}}_x)$, $\overrightarrow{OM}=x{\overrightarrow{e}}_x$ et la force de Coulomb vaut

$${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{noy}}=-e{\overrightarrow{E}}_{\mathrm{noy}}=-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{a}^3}x{\overrightarrow{e}}_x=-m_e{\omega }_0^{2}x{\overrightarrow{e}}_x,\boxed{{\omega }_0=\sqrt{\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{m}_e{a}^3}}.}$$

C'est une force de rappel élastique : l'électron est « élastiquement lié » au centre de l'atome (tant que $\left|x\right|⩽a$).

Q25. Système : l'électron ; référentiel de l'atome (noyau fixe) galiléen ; seule force ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{noy}}$ (poids négligeable). Le principe fondamental de la dynamique projeté sur ${\overrightarrow{e}}_x$ donne l'équation de l'oscillateur harmonique $\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$, de solution $x=A\cos {\omega }_{0}t+B\sin {\omega }_{0}t$ ; les conditions initiales imposent $A=x_0$, $B=0$ :

$$\boxed{x(t)=x_0\cos ({\omega }_{0}t).}$$

L'énergie potentielle associée à ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{noy}}$ est ${\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2}{m}_e{\omega }_0^2{x}^2$ ; l'énergie mécanique se conserve (force conservative) :

$$\mathcal{E}=\frac{1}{2}{m}_e{\dot{x}}^2+\frac{1}{2}{m}_e{\omega }_0^2{x}^2=\frac{1}{2}{m}_e{\omega }_0^2{x}_0^2\left({\sin }^2{\omega }_{0}t+{\cos }^2{\omega }_{0}t\right),\boxed{⟨\mathcal{E}⟩=\frac{1}{2}{m}_e{\omega }_0^2{x}_0^2.}$$

Les moyennes des deux termes sont égales, $⟨{\mathcal{E}}_{\mathrm{c}}⟩=⟨{\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}⟩=\frac{1}{4}{m}_e{\omega }_0^2{x}_0^2$ : ni l'une ni l'autre n'est nulle (erreur relevée par le jury).

Q26. L'accélération vaut $\gamma =\ddot{x}=-{\omega }_0^2{x}_0\cos {\omega }_{0}t$, d'où $⟨{\gamma }^2⟩={\omega }_0^4{x}_0^2/2$. La formule de Larmor pour $q=-e$ donne

$$⟨\mathcal{P}⟩=\frac{e^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}\frac{{\omega }_0^4{x}_0^2}{2}=\frac{e^2{\omega }_0^2}{6\pi {\epsilon }_0{m}_e{c}^3}\times \frac{1}{2}{m}_e{\omega }_0^2{x}_0^2,\boxed{⟨\mathcal{P}⟩=\frac{e^2{\omega }_0^2}{6\pi {\epsilon }_0{m}_e{c}^3}⟨\mathcal{E}⟩.}$$

Théorème de la puissance mécanique (en moyenne sur une période, régime quasi statique) : l'énergie rayonnée est perdue par l'électron, $\frac{\mathrm{d}⟨\mathcal{E}⟩}{\mathrm{d}t}=-⟨\mathcal{P}⟩$ (signe : $⟨\mathcal{P}⟩>0$ est une puissance cédée au champ). Donc

$$\frac{\mathrm{d}⟨\mathcal{E}⟩}{\mathrm{d}t}+\Gamma ⟨\mathcal{E}⟩=0,⟨\mathcal{E}⟩(t)={\mathcal{E}}_0{\mathrm{e}}^{-\Gamma t},\boxed{\Gamma =\frac{e^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}\frac{{\omega }_0^2}{m_e}.}$$

Application numérique : l'électron émet à sa fréquence d'oscillation, donc ${\omega }_0=2\pi c/{\lambda }_0=\frac{2\pi \times 3,0\times 10^8}{486,1\times 10^{-9}}\simeq 3,9\times 10^{15}\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$, ${\omega }_0^2\simeq 1,5\times 10^{31}{\mathrm{s}}^{-2}$, et

$$\Gamma =\frac{5,7\times 10^{-54}\times 1,5\times 10^{31}}{9,1\times 10^{-31}}{\mathrm{s}}^{-1}\simeq 9,4\times 10^7{\mathrm{s}}^{-1}.$$

Homogénéité : $e^2/(6\pi {\epsilon }_0{c}^3)$ est en $\mathrm{J}\cdot \mathrm{m}\times (\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}{)}^{-3}=\mathrm{kg}\cdot \mathrm{s}$ ; multiplié par ${\omega }_0^2/m_e$, on obtient bien des ${\mathrm{s}}^{-1}$.