Corrigé Mines-Ponts 2026 Physique II PC — Partie III.B (Q33 à Q35) : Instabilité de l'atome classique : effondrement de l'électron sur le noyau

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Physique II PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On abandonne le modèle de Thomson. Un électron (masse $m_{e}$ , charge $- e$ ) décrit une orbite circulaire de rayon $r$ autour d'un noyau ponctuel fixe en $O$ , de charge $Z e$ . Formule de Larmor : une charge $q$ d'accélération $γ$ rayonne $P = q^{2} γ^{2} / (6 π ε_{0} c^{3})$ . Données : $e = 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ ; $m_{e} = 9, 1 \times 1 0^{- 31} kg$ ; $χ = e / (4 π ε_{0}) ≃ 1, 5 \times 1 0^{- 9}$ (SI) ; $e^{2} / (6 π ε_{0} c^{3}) = 5, 7 \times 1 0^{- 54}$ (SI).

Q33. Rappeler la force coulombienne exercée par le noyau sur l'électron. Sans autre interaction, justifier que le mouvement est uniforme ; déterminer la vitesse $v$ et la période $T$ ; nommer la relation obtenue ; exprimer l'énergie mécanique $E (r)$ .

Le rayonnement (Larmor) fait perdre de l'énergie, très peu sur une période : l'orbite reste quasi circulaire, de rayon lentement décroissant (décroissance quasi statique).

Q34. Établir l'équation différentielle vérifiée par $r (t)$ ; en déduire $r (t)$ pour un rayon initial $r_{0}$ . Pour l'hydrogène, $r_{0} = 53 pm$ : calculer le temps d'« effondrement » de l'électron sur le noyau. Donner l'expression littérale puis une estimation du nombre de tours effectués pendant la chute.
Q35. Comment la mécanique quantique remédie-t-elle aux problèmes soulevés par les questions Q32 et Q34 ?

Corrigé

Q33. Force. D'après la loi de Coulomb, le noyau (charge $Z e$ , en $O$ ) exerce sur l'électron (charge $- e$ , en $M$ , $O M = r e_{r}$ ) la force attractive

$F = - \frac{Z e ^{2}}{4 π ε _{0} r ^{2}} e_{r} = - \frac{Z eχ}{r ^{2}} e_{r} .$

Mouvement uniforme. Système : l'électron ; référentiel lié au noyau, galiléen. En coordonnées polaires, le mouvement circulaire ( $r$ constant) a pour accélération $a = - r θ ˙^{2} e_{r} + r θ ¨ e_{θ}$ . La force étant centrale, sa composante orthoradiale est nulle : la projection du principe fondamental de la dynamique sur $e_{θ}$ donne $m_{e} r θ ¨ = 0$ , donc $θ ˙$ est constant et $v = r θ ˙$ aussi : le mouvement est uniforme. (De façon équivalente : la force centrale conserve le moment cinétique $L_{O} = m_{e} r^{2} θ ˙$ , donc à $r$ fixé $θ ˙$ est constant. Attention : c'est la norme de la vitesse qui est constante, pas le vecteur vitesse.)

Vitesse et période. La projection sur $e_{r}$ donne $- m_{e} \frac{v ^{2}}{r} = - \frac{Z eχ}{r ^{2}}$ , d'où

$v = \frac{Z e ^{2}}{4 π ε _{0} m _{e} r} = \frac{Z eχ}{m _{e} r},$

$T = \frac{2 π r}{v} = 2 π \frac{m _{e} r ^{3}}{Z eχ} ⟺ \frac{T ^{2}}{r ^{3}} = \frac{4 π ^{2} m _{e}}{Z eχ} = \frac{16 π ^{3} ε _{0} m _{e}}{Z e ^{2}} .$

Le rapport $T^{2} / r^{3}$ est indépendant de l'orbite : c'est la troisième loi de Kepler, transposée à l'interaction coulombienne.

Énergie mécanique. Avec $E_{p} = - \frac{Z e ^{2}}{4 π ε _{0} r}$ (origine à l'infini) et $E_{c} = \frac{1}{2} m_{e} v^{2} = \frac{Z e ^{2}}{8 π ε _{0} r}$ :

$E (r) = - \frac{Z e ^{2}}{8 π ε _{0} r} = - \frac{Z eχ}{2 r} = \frac{E _{p}}{2} = - E_{c} .$

Ce que le correcteur attend : le facteur $Z$ dans la force (souvent oublié selon le jury).

Q34. Équation différentielle. L'accélération de l'électron sur son orbite quasi circulaire est centripète, $γ = \frac{v ^{2}}{r} = \frac{Z eχ}{m _{e} r ^{2}}$ . La formule de Larmor ( $q = - e$ ) donne la puissance rayonnée

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