Corrigé Mines-Ponts 2026 Physique II PSI — Partie I (Q1 à Q11) : Moteur électrostatique à capacité variable : couple, alimentation en créneaux, version multicouche et brushless

Q1. Armature supérieure chargée $q>0$, armature inférieure $-q$ ; le champ, uniforme entre les armatures, va de la charge positive vers la charge négative, donc dans le sens des potentiels décroissants ; la flèche de la tension $u=V_{+}-V_{-}$ pointe vers l'armature positive.

Q2. Définition. Les deux armatures étant en influence totale (charges $q$ et $-q$), la charge de l'armature d'où part la flèche de $u$ est proportionnelle à la tension : $q=Cu$ ; la capacité $C>0$ ne dépend que de la géométrie (et du milieu).

Champ. On néglige les effets de bord ($d\ll \sqrt{S}$) : chaque armature est assimilée à un plan infini uniformément chargé, de densité surfacique $\pm \sigma$ avec $\sigma =q/S$. Pour un plan infini, tout plan perpendiculaire à l'armature et passant par le point $M$ est plan de symétrie : $\overrightarrow{E}(M)$ est normal au plan ; l'invariance par translation parallèle au plan le fait dépendre de la seule distance au plan. Le théorème de Gauss appliqué à un cylindre droit de section $\Sigma$, traversant le plan symétriquement, donne $2E\Sigma =\sigma \Sigma /{\epsilon }_0$, soit un champ de norme $\sigma /(2{\epsilon }_0)$ dirigé en s'éloignant du plan si $\sigma >0$. Par superposition des deux plans, les champs s'annulent à l'extérieur et s'ajoutent entre les armatures :

$$\boxed{\overrightarrow{E}=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}\overrightarrow{n}=\frac{q}{{\epsilon }_{0}S}\overrightarrow{n}}$$

où $\overrightarrow{n}$ est la normale unitaire orientée de l'armature $+q$ vers l'armature $-q$.

Capacité. Avec $\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}V$, la circulation de $\overrightarrow{E}$ de l'armature $+q$ vers l'armature $-q$ vaut $u=V_{+}-V_{-}=Ed=\frac{qd}{{\epsilon }_{0}S}$. Donc

$$\boxed{C=\frac{q}{u}=\frac{{\epsilon }_{0}S}{d}}$$

Homogénéité : ${\epsilon }_0$ en $\mathrm{F}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}$, $S/d$ en $\mathrm{m}$ : $C$ en farads.

Q3. Les électrodes (1) et (2) du rotor sont au même potentiel (reliées par l'axe conducteur), de même que (3) et (4) du stator : le dispositif est l'association en parallèle de condensateurs plans dont la surface utile est la surface des électrodes rotoriques en regard des électrodes statoriques (hors effets de bord). Sur la figure 1, pour ${\theta }_{\mathrm{r}}=0$, le rotor occupe les quadrants où il n'y a pas d'électrode statorique : la surface en regard est nulle. Quand ${\theta }_{\mathrm{r}}$ augmente, l'électrode (1) vient en regard de (3) et l'électrode (2) en regard de (4) ; le recouvrement est total pour ${\theta }_{\mathrm{r}}=\pi /2$. Le rotor étant invariant par rotation de $\pi$ :

• $C=C_{\max }$ pour ${\theta }_{\mathrm{r}}=\frac{\pi }{2}+k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$), recouvrement total ;
• $C=C_{\min }$ pour ${\theta }_{\mathrm{r}}=k\pi$, aucun recouvrement : $C_{\min }$ n'est dû qu'aux effets de bord et aux capacités parasites (axe, connexions), $C_{\min }\ll C_{\max }$.

À recouvrement total, la surface en regard est celle de deux quarts de disque, $2\times \pi R^2/4=\pi R^2/2$ (le trou central, de taille $\sim \delta \ll R$, est négligé) :

$$\boxed{C_{\max }=\frac{{\epsilon }_0\pi R^2}{2d}}$$