Corrigé Mines-Ponts 2026 Physique II PSI — Partie II (Q12 à Q20) : Moteur à inductance variable : champ dans l'entrefer, inductance, couple et puissance

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Physique II PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Stator cylindrique creux en fer doux à deux pôles saillants ; rotor en fer doux, position angulaire $θ_{r}$ . Deux enroulements de $N$ spires, en série, parcourus par le même courant $i (t)$ (machine monophasée). Rotor et stator sont séparés par deux minces entrefers d'épaisseur $e$ dont le volume dépend de $θ_{r}$ .

{ Figure 4 — À gauche : principe, $θ_{r}$ quelconque ; à droite : notations (rotor en position alignée).}

Figure 5 (cartes du logiciel FEMM, non redessinées) : mêmes lignes de $B$ dans les deux cas, canalisées par le fer et traversant les entrefers ; teinte foncée = valeur élevée. Simulation 1 : fer clair, foncé seulement dans les deux entrefers. Simulation 2 : foncé dans tout le fer (culasse, pôles, rotor) et les entrefers, air latéral clair. L'une donne $B$ , l'autre $H$ .

Q12. Quelle simulation donne $B$ ? Justifier.
Q13. Justifier qu'on néglige $B$ dans l'air hors des entrefers.
Q14. Perméabilités infinies : montrer que $B_{a} = μ_{0} N i / e$ dans les entrefers.

Rayon du rotor $R$ , longueur axiale $ℓ$ , $ℓ ≫ R ≫ e$ ; angles d'ouverture du rotor $β_{r} = π /2 + 2 ϵ$ et des pôles $β_{s} = π /2 - ϵ$ , $ϵ ≪ 1 rad$ .

Q15. Dessiner l'entrefer pour $θ_{r} = k π$ et exprimer son volume (minimal) ; puis pour $θ_{r} = (2 k + 1) π /2$ (maximal).
Q16. Définition énergétique de $L$ ; en déduire $L_{m i n}$ , $L_{m a x}$ . Variation entre ces extrêmes ?

En pratique, $L (θ_{r})$ est la courbe trapézoïdale de la figure 6, avec des paliers de même largeur $Δ β ≪ β_{r}$ . Couple : $Γ = \partial E_{ma} / \partial θ_{r}$ à $i$ fixé ( $E_{ma}$ : énergie magnétique).

{ Figure 6 — Courbe de $L (θ_{r})$ : $L_{m i n} \approx 4, 5 mH$ , $L_{m a x} = 40 mH$ , $Δ β \approx 2 0^{\circ}$ .}

Q17. Exprimer $Γ$ en fonction de $L$ et $i$ . Courant constant possible ?

Alimentation par un courant en créneaux entre $0$ et $I > 0$ .

Q18. Sur la courbe de $L$ , indiquer où appliquer $I$ ; tracer le créneau de courant et $Γ (θ_{r})$ . Exprimer $⟨ Γ ⟩$ en fonction de $L_{m a x}$ , $L_{m i n}$ , $I$ .
Q19. Relation entre la pulsation $ω$ du fondamental de $i (t)$ et $Ω = θ ˙_{r}$ ?
Q20. Montrer que $⟨ P_{m, ma} ⟩ = \frac{1}{2} f I^{2} (L_{m a x} - L_{m i n})$ .

Corrigé

Q12. Deux propriétés distinguent $B$ de $H$ .

$div B = 0$ : le flux de $B$ est conservatif, et la composante normale de $B$ est continue à la traversée d'une interface. Les lignes de champ traversant l'entrefer presque normalement, $B$ a pratiquement la même valeur dans le fer et dans l'entrefer qui le prolonge ; de plus $B$ est d'autant plus grand que les lignes (tubes de flux) sont resserrées.
$H = B / (μ_{0} μ_{r})$ : dans le fer doux ( $μ_{r} \sim 1 0^{3}$ à $1 0^{4}$ ) l'excitation est $μ_{r}$ fois plus faible que dans l'air de l'entrefer, pour la même valeur de $B$ .

La simulation 1 est foncée seulement dans les entrefers et claire dans le fer : c'est la carte de $H$ . La simulation 2, foncée dans tout le circuit de fer où les lignes sont serrées (culasse, pôles, rotor) comme dans les entrefers, donne $B$ .

Ce que le correcteur attend : on ne compare pas les valeurs de $B$ et de $H$ , grandeurs d'unités différentes ; on compare leurs répartitions.

Q13. Le fer, de très grande perméabilité, canalise les lignes de champ : sur la simulation 2, les lignes restent dans le fer et ne quittent celui-ci que pour franchir les entrefers ; l'air latéral (de part et d'autre du rotor) est clair et presque vide de lignes. En termes de réluctances, $R = ℓ / (μ S)$ : un chemin dans l'air entre stator et rotor, en dehors des entrefers, a une longueur de l'ordre de $R$ , très supérieure à $e$ ; sa réluctance est donc bien plus grande que celle des entrefers, et le flux qui l'emprunte est négligeable. Par le théorème d'Ampère, le champ dans cet air est de l'ordre de $μ_{0} N i / R ≪ μ_{0} N i / e$ .

Q14. Hypothèses. Régime quasi stationnaire (ARQS magnétique), fer linéaire de perméabilité $μ_{0} μ_{r}$ avec $μ_{r} \to \infty$ : dans le fer, $B$ restant fini, $H = B / (μ_{0} μ_{r}) \to 0$ . Dans l'entrefer (air), $H = B / μ_{0}$ .

Champ dans l'entrefer. L'entrefer est mince ( $e ≪ R$ ) : $B$ y est radial (normal aux surfaces de fer) et, par conservation du flux dans un tube de champ de section constante sur l'épaisseur $e$ , de norme uniforme à la traversée.

Théorème d'Ampère. On choisit un contour fermé orienté suivant une ligne de champ : descente dans le pôle supérieur, traversée de l'entrefer supérieur, du rotor, de l'entrefer inférieur, du pôle inférieur, retour par la culasse. Ce contour enlace les deux bobines, chacune de $N$ spires parcourues par $i$ dans le même sens (sur la figure 4, les conducteurs $⊙$ des deux bobines sont du même côté du contour) : le courant enlacé vaut $2 N i$ . Seuls les entrefers contribuent à la circulation de $H$ :

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →