Corrigé Mines-Ponts 2026 Physique II PSI — Partie III (Q21 à Q28) : Alimentation du moteur à inductance variable : hacheur à diode de roue libre puis demi-pont asymétrique

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2026, épreuve Physique II PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On reprend le moteur de la partie II ( $L (θ_{r})$ trapézoïdale de la figure 6 : $L_{m i n}$ sur $[k π - Δ β /2, k π + Δ β /2]$ , $L_{m a x}$ sur $[k π + π /2 - Δ β /2, k π + π /2 + Δ β /2]$ , variation affine entre les deux). Le bobinage a une résistance $r$ ; $u (t)$ est la tension à ses bornes en convention récepteur ; le courant $i (t) \geq 0$ ne change pas de signe.

Q21. Montrer que $[r + Ω \frac{d L}{d θ _{r}}] i + Ω L (θ_{r}) \frac{d i}{d θ _{r}} = u$ et rappeler l'expression de $Ω$ .

On veut imposer un créneau de courant à partir d'une source de tension continue idéale $U_{0}$ ; montage n $^{\circ}$ 1 (figure 7) : transistor T et diode D idéaux.

{ Figure 7 — Montage n $^{\circ}$ 1 (la cathode de D est reliée au point commun de T et du moteur).}

Q22. T passant : état de D, valeur de $u$ , signe de $i$ ? Règles d'interconnexion des sources respectées ?
Q23. Justifier que, T passant, $d L / d θ_{r} = ρ = (L_{m a x} - L_{m i n}) / (π /2 - Δ β)$ ; équation de $i (θ_{r})$ (avec $r$ , $ρ$ , $Ω$ , $L$ , $U_{0}$ ).

T est ouvert quand $L$ atteint $L_{m a x}$ .

Q24. État de D ? Valeurs successives de $d L / d θ_{r}$ et équations de $i (θ_{r})$ sur $[π /2 - Δ β /2, π + Δ β /2]$ .

Résolution numérique (diagramme synchrone, figure 8 ; pointillés à $1 0^{\circ}$ , $8 0^{\circ}$ , $10 0^{\circ}$ , $17 0^{\circ}$ , $19 0^{\circ}$ …).

{ Figure 8 — Solutions numériques pour le montage n $^{\circ}$ 1 (allure).}

Q25. Interpréter les variations plus ou moins rapides de $i (θ_{r})$ .
Q26. Défaut de ce montage ? Origine ?

Montage n $^{\circ}$ 2 (figure 9) : transistors T $_{1}$ , T $_{2}$ et diodes D $_{1}$ , D $_{2}$ idéaux. Phase 1 : T $_{1}$ et T $_{2}$ passants ; phase 2 : T $_{1}$ et T $_{2}$ ouverts ; phase 3 : T $_{2}$ passant, T $_{1}$ ouvert.

{ Figure 9 — Montage n $^{\circ}$ 2 (demi-pont asymétrique).}

Q27. Pour chaque phase, donner $u$ et l'état de D $_{1}$ et D $_{2}$ .

{ Figure 10 — Solutions numériques pour le montage n $^{\circ}$ 2 (allure).}

Q28. Comparer l'évolution de $i (θ_{r})$ dans les deux montages ; en quoi le n $^{\circ}$ 2 est-il plus performant ?

Corrigé

Q21. Modèle électrique. Le bobinage est un circuit de résistance $r$ dont le flux propre, en milieu linéaire, vaut $Φ = L (θ_{r}) i$ . En convention récepteur, la loi des mailles avec la loi de Faraday donne

$u = r i + \frac{d Φ}{d t} = r i + \frac{d L}{d θ _{r}} \frac{d θ _{r}}{d t} i + L \frac{d i}{d t} .$

Le rotor tournant à la vitesse angulaire $Ω = \frac{d θ _{r}}{d t}$ (supposée constante), on repère le temps par l'angle : $\frac{d i}{d t} = Ω \frac{d i}{d θ _{r}}$ . D'où

$[r + Ω \frac{d L}{d θ _{r}}] i (θ_{r}) + Ω L (θ_{r}) \frac{d i}{d θ _{r}} = u (θ_{r}), Ω = θ ˙_{r}$

Le terme $Ω \frac{d L}{d θ _{r}} i$ est une force contre-électromotrice « de mouvement ». Contrôle énergétique : en multipliant par $i$ , $u i = r i^{2} + \frac{d}{d t} (\frac{1}{2} L i^{2}) + \frac{1}{2} i^{2} \frac{d L}{d θ _{r}} Ω$ : puissance reçue $=$ effet Joule $+$ variation de l'énergie magnétique $+$ puissance mécanique $ΓΩ$ (avec le $Γ$ de Q17).

Q22. On prend le pôle $-$ de la source comme référence des potentiels.

T passant (interrupteur fermé idéal) : le point commun A est au potentiel $U_{0}$ . La diode D a sa cathode en A et son anode au potentiel $0$ : elle est soumise à $v_{D} = 0 - U_{0} = - U_{0} < 0$ : D est bloquée.
Le moteur est alors directement relié à la source : $u = U_{0}$ .
Le courant du moteur est celui du transistor, qui ne conduit que dans un sens (de la source vers A) : $i \geq 0$ , conformément à l'hypothèse de l'énoncé ; $i$ croît sous l'effet de $U_{0}$ .
Règles d'interconnexion : on ne doit jamais court-circuiter une source de tension ni ouvrir une source de courant. Grâce à son inductance, le moteur impose la continuité de son courant : c'est un dipôle de type source de courant. T passant relie une source de tension ( $U_{0}$ ) à une source de courant (le moteur), ce qui est permis ; D étant bloquée, la source $U_{0}$ n'est pas court-circuitée. Les règles sont respectées.

Q23. D'après Q18, T est passant pendant les phases où $L$ croît, $θ_{r} \in [k π + Δ β /2, k π + π /2 - Δ β /2]$ . Sur cet intervalle d'amplitude $π /2 - Δ β$ , la courbe de la figure 6 est un segment de droite allant de $L_{m i n}$ à $L_{m a x}$ : sa pente est constante,

$\frac{d L}{d θ _{r}} = \frac{L _{m a x} - L _{m i n}}{π /2 - Δ β} = ρ,$

soit numériquement $ρ \approx \frac{35 , 5 \times 1 0 ^{- 3}}{7 π /18} H \cdot ra d^{- 1} \approx 3 \times 1 0^{- 2} H \cdot ra d^{- 1}$ (avec $Δ β = 2 0^{\circ} = π /9$ ). Avec $u = U_{0}$ dans l'équation de Q21 :

$(r + Ω ρ) i + Ω L (θ_{r}) \frac{d i}{d θ _{r}} = U_{0}, L (θ_{r}) = L_{m i n} + ρ (θ_{r} - k π - \frac{Δ β}{2}) .$

Q24. État de D. À l'ouverture de T (en $θ_{r} = π /2 - Δ β /2$ ), le courant $i > 0$ du moteur ne peut pas s'annuler brutalement (inductance) : il se referme par la diode, qui devient passante (diode de roue libre). Le point A est alors au potentiel $0$ : $u = 0$ (D idéale). T ouvert supporte $U_{0}$ .

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