Corrigé Mines-Ponts 2026 Physique II PSI — Partie IV (Q29 à Q40) : Comparaison électrostatique / électromagnétique : courbe de Paschen et lois d'échelle

Résultats admis ($f$ : fréquence ; $U$, $I$ : amplitudes des créneaux) :

$$⟨{\mathcal{P}}_{\mathrm{m},\mathrm{el}}⟩=\frac{1}{2}f{U}^2(C_{\max }-C_{\min }),⟨{\mathcal{P}}_{\mathrm{m},\mathrm{ma}}⟩=\frac{1}{2}f{I}^2(L_{\max }-L_{\min }),$$

avec $C_{\min }\ll C_{\max }$, $L_{\min }\ll L_{\max }$ ; ${\epsilon }_0$, ${\mu }_0$, $c$ comme en partie I.

Q29. Justifier $⟨{\mathcal{P}}_{\mathrm{m},\mathrm{el}}⟩\approx \frac{{\epsilon }_0}{2}f{V}_{\mathrm{a},\max }{E}_{\mathrm{a}}^2$ et $⟨{\mathcal{P}}_{\mathrm{m},\mathrm{ma}}⟩\approx \frac{1}{2{\mu }_0}f{V}_{\mathrm{e},\max }{B}_{\mathrm{e}}^2$ (volumes maximaux inter-armatures et d'entrefer ; champs dans ces volumes).
Q30. Avec $B_{\mathrm{e}}\le B_{\mathrm{sat}}\approx 1\mathrm{T}$ (saturation), quel $E_{\mathrm{a}}$ égalerait les puissances à dimensions égales ?

Figure 11 : tension de claquage $V_{\mathrm{c}}$ de l'air sec en fonction de $pd$ (pression $\times$ distance).

{ Figure 11 — Courbe de Paschen pour l'air sec (échelles logarithmiques).}

Q31. En déduire le champ disruptif $E_{\mathrm{d}}$ de l'air à pression atmosphérique ; évaluer $\kappa =⟨{\mathcal{P}}_{\mathrm{m},\mathrm{el}}{⟩}_{\max }/⟨{\mathcal{P}}_{\mathrm{m},\mathrm{ma}}{⟩}_{\max }$ ; conclure. Sous quelle pression aurait-on $\kappa \sim 1$ ?

Lois d'échelle : un changement d'échelle multiplie toutes les longueurs par $h$ ; on note $L_x\sim h$, $S\sim h^2$, $V\sim h^3$.

Q32. Unités usuelles de ${\epsilon }_0$ et ${\mu }_0$ ; en déduire $C\sim h$ et $L\sim h$.
Q33. Répartition des charges sur les armatures ; en déduire $U\sim h$.
Q34. Par le théorème de l'énergie cinétique appliqué au rotor, montrer que les durées vérifient $t\sim h$.
Q35. Lois d'échelle de $⟨{\mathcal{P}}_{\mathrm{m},\mathrm{el}}⟩$ et de la puissance volumique $⟨{\mathcal{P}}_{\mathrm{m},\mathrm{el}}⟩$. Conclure.

Moteur électromagnétique : effet Joule.

Q36. Résistance $r$ d'un câble cylindrique (sans démonstration) ; en déduire $r\sim h^{-1}$.

Température $T$ uniforme imposée, invariante ; puissance cédée à l'extérieur : ${\mathcal{P}}_{\mathrm{th}}=kS(T-T_{\mathrm{ext}})$, $k$ indépendant de la taille.

Q37. Relation entre ${\mathcal{P}}_{\mathrm{th}}$ et la puissance Joule moyenne en régime permanent ; en déduire $I\sim h^{3/2}$.
Q38. Comme en Q34, montrer qu'ici $t\sim h^{1/2}$.
Q39. Lois d'échelle de $⟨{\mathcal{P}}_{\mathrm{m},\mathrm{ma}}⟩$ et de $⟨{\mathcal{P}}_{\mathrm{m},\mathrm{ma}}⟩$. Conclure.
Q40. Comparer les deux types de moteurs. Conclure.