Corrigé X 2025 Physique A PC — Milieu réverbérant — Cavité Fabry-Pérot (Q28 à Q33) : Cavité Fabry-Pérot : échos multiples, signal retourné, résonances et filtrage

Sujet officiel du concours X, session 2025, épreuve Physique A PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Idée : dans un milieu réverbérant, un récepteur unique $M$ reçoit, en plus du trajet direct, tous les échos sur les parois ; on espère garder les performances de la sphère avec un miroir à un seul élément. Premier modèle, à une dimension : deux interfaces en $x = \pm L$ ; le milieu de célérité $c_{2}$ occupe $- L < x < L$ , la célérité vaut $c_{1}$ ailleurs. On reprend $t_{12}$ , $t_{21}$ , $r_{12}$ , $r_{21}$ (Q9 à Q11).
Q28. Une source en $x = - x_{0}$ émet $s (t)$ . Exprimer le champ $R (t)$ reçu en $M$ , en $x = x_{0}$ ( $x_{0} > L$ ), en tenant compte des réflexions multiples.
Q29. Pour $s (t) = exp (- \frac{t ^{2}}{2 τ ^{2}})$ , $τ$ étant plus court que tous les autres temps, tracer l'allure de $R (t)$ .
Q30. $R (t)$ est lu en chronologie inverse et réémis par $M$ après une durée $T$ suffisante. Calculer le signal $s_{R T} (t)$ reçu en $x = - x_{0}$ , en fonction de $T$ , des coefficients et de $s$ ; dessiner son allure dans les hypothèses de Q29. Retrouve-t-on le signal émis ?
Q31. En régime monochromatique, $s (t) = Re {S (ω) exp (- i ω t)}$ : exprimer la réponse $R (ω)$ reçue en $M$ .
Q32. Fréquences de résonance du système ? Condition vérifiée alors par $L$ ?
Q33. Expliquer, à l'aide de cette réponse, pourquoi un miroir à un seul capteur ne peut pas ici recréer le signal initial, contrairement au cas du milieu homogène.

Corrigé

On garde la normalisation de Q7 et des parties précédentes (une onde se propage sans se déformer ni s'atténuer dans chaque milieu) et les coefficients réels, indépendants de la fréquence, de Q9 à Q11. Les coefficients d'une interface ne dépendent que des milieux de départ et d'arrivée : l'onde qui, dans la lame, frappe l'interface $x = + L$ ou l'interface $x = - L$ est réfléchie avec $r_{21}$ et transmise avec $t_{21}$ .

Q28. On suit l'onde émise vers les $x$ croissants (celle qui part vers $- \infty$ n'atteint jamais $M$ , l'onde réfléchie en $- L$ non plus).

Trajet direct : parcours $x_{0} - L$ dans le milieu 1, transmission $t_{12}$ en $- L$ , traversée de la lame ( $2 L$ à la célérité $c_{2}$ ), transmission $t_{21}$ en $+ L$ , parcours $x_{0} - L$ dans le milieu 1. Retard $t_{1} = \frac{2 ( x _{0} - L )}{c _{1}} + \frac{2 L}{c _{2}}$ , amplitude $t_{12} t_{21}$ .
Chaque écho supplémentaire fait un aller-retour de plus dans la lame : deux réflexions internes ( $r_{21}$ en $+ L$ , puis $r_{21}$ en $- L$ ), un parcours supplémentaire $4 L$ à la célérité $c_{2}$ , soit un retard supplémentaire $Δ t = \frac{4 L}{c _{2}}$ et un facteur $r_{21}^{2}$ .

Trajet direct et premier écho (les rayons sont décalés verticalement pour la lisibilité ; l'incidence est normale).

En sommant tous les échos (principe de superposition) :

$R (t) = t_{12} t_{21} n = 0 \sum + \infty r_{21}^{2 n} s (t - t_{1} - n Δ t), t_{1} = \frac{2 ( x _{0} - L )}{c _{1}} + \frac{2 L}{c _{2}}, Δ t = \frac{4 L}{c _{2}} .$

Avec les relations de Stokes (Q11), $r_{21}^{2} = r_{12}^{2}$ et $t_{12} t_{21} = 1 - r_{12}^{2}$ . En notant $r = r_{12}$ (réel, $∣ r ∣ < 1$ ) :

$R (t) = (1 - r^{2}) n = 0 \sum + \infty r^{2 n} s (t - t_{1} - n Δ t) .$

On peut écrire $R = h * s$ avec la réponse impulsionnelle $h (t) = (1 - r^{2}) \sum_{n} r^{2 n} δ (t - t_{1} - n Δ t)$ .

Ce que le correcteur attend : les réflexions multiples, les retards avec les bonnes célérités dans chaque milieu ( $c_{1}$ dehors, $c_{2}$ dans la lame) et le facteur $r_{21}^{2}$ par aller-retour.

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