Corrigé X 2025 Physique A PC — Milieu réverbérant (Q34 à Q37) : Cavité réverbérante aléatoire : pic cohérent en N, fond en racine de N

Sujet officiel du concours X, session 2025, épreuve Physique A PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Source (en $r = 0$ ) et miroir $M$ à un seul élément sont placés dans une cavité réverbérante à trois dimensions. Quand la source émet une impulsion brève $s (t)$ , de durée $τ$ , le signal reçu en $M$ est une succession d'impulsions :

$R (t) = n = 0 \sum N_{t} a_{n} s (t - t_{0} - n τ),$

où les $a_{n}$ sont des amplitudes aléatoires comprises entre $- 1$ et $1$ , de moyenne nulle et indépendantes, $t_{0}$ est la durée avant l'arrivée du premier signal et $N_{t}$ , supposé grand, le nombre d'échos enregistrés.
Q34. Par retour inverse, une impulsion émise par $M$ subit jusqu'à l'origine la même modification qu'à l'aller. Que vaut le signal $s_{R T} (t)$ reçu à l'origine quand $M$ joue le rôle de miroir à retournement temporel ?
Q35. Que vaut ce signal à $t = 2 T$ ?
Q36. Que vaut-il aux instants $t = 2 T + n τ$ ?
Q37. Commenter.

Corrigé

On note $s (0) = 1$ la valeur maximale de l'impulsion. L'énoncé donne à $τ$ deux rôles : la durée de l'impulsion et l'espacement des échos ; pour que $R (t)$ soit bien une « succession d'impulsions » distinctes, on prend $τ$ comme durée totale de $s$ (support contenu dans un intervalle de longueur $τ$ ), de sorte que deux impulsions décalées d'un multiple non nul de $τ$ ne se recouvrent pas : $s (k τ) = 0$ pour tout entier $k \neq = 0$ . (Avec la gaussienne de Q29, $s (τ) = e^{- 1/2} \approx 0, 6$ : il faudrait alors lire « durée » comme plusieurs largeurs $τ$ ; les conclusions ne changent pas.) On note $σ^{2} = ⟨ a_{n}^{2} ⟩$ la valeur moyenne du carré des amplitudes ( $σ^{2} = 1/3$ si les $a_{n}$ sont uniformément répartis sur $[- 1, 1]$ ).

Q34. Le milieu est linéaire et invariant dans le temps : le trajet de la source vers $M$ est décrit par la réponse impulsionnelle $h (t) = \sum_{n = 0}^{N_{t}} a_{n} δ (t - t_{0} - n τ)$ , telle que $R = h * s$ . Par retour inverse (réciprocité), le trajet de $M$ vers l'origine a la même réponse impulsionnelle. Le miroir enregistre $R$ pendant la durée $T > t_{0} + N_{t} τ$ , puis réémet $R_{R T} (t^{'}) = R (2 T - t^{'}) = \sum_{n} a_{n} s (2 T - t^{'} - t_{0} - n τ)$ (Q15). Le signal reçu à l'origine est

$s_{R T} (t) = m = 0 \sum N_{t} a_{m} R_{R T} (t - t_{0} - m τ) = n = 0 \sum N_{t} m = 0 \sum N_{t} a_{n} a_{m} s (2 T - t + (m - n) τ) .$

Le retard $t_{0}$ s'élimine, comme $t_{1}$ en Q30 : chaque écho reçu à l'aller avec le retard $t_{0} + n τ$ est réémis en avance d'autant, et repasse par le même chemin. Le terme $(n, m)$ est une impulsion retournée, centrée en $t = 2 T + (m - n) τ$ , d'amplitude $a_{n} a_{m}$ .

Q35. À $t = 2 T$ , seuls subsistent les termes $m = n$ , pour lesquels $s (0) = 1$ :

$s_{R T} (2 T) = n = 0 \sum N_{t} a_{n}^{2} .$

Tous les termes sont positifs : quels que soient les signes aléatoires des $a_{n}$ , ils s'ajoutent en phase. En moyenne,

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