Corrigé X 2025 Physique A PC — Miroir en milieu homogène — Considérations spatiales (Q21 à Q27) : Ondes sphériques convergente et divergente, tache focale et limite de diffraction

Sujet officiel du concours X, session 2025, épreuve Physique A PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On passe à trois dimensions : le champ $u (r, t)$ obéit à l'équation (1), $Δ u - \frac{1}{c _{0}^{2}} \frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = 0$ . Le sujet rappelle le laplacien en coordonnées sphériques :

$ΔΨ = \frac{1}{r} \frac{\partial ^{2} ( r Ψ )}{\partial r ^{2}} + \frac{1}{r ^{2}} [\frac{1}{sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (sin θ \frac{\partial Ψ}{\partial θ}) + \frac{1}{sin ^{2} θ} \frac{\partial ^{2} Ψ}{\partial φ ^{2}}] .$

Q21. Forme de l'équation d'ondes pour un problème à symétrie sphérique.
Q22. Forme de cette équation en régime monochromatique, $u (r, t) = Re (u (r, ω) e^{- i ω t})$ .
Q23. En déduire les ondes monochromatiques convergente $u_{c} (r, ω)$ et divergente $u_{d} (r, ω)$ , d'amplitudes complexes $U_{c}$ et $U_{d}$ .
Q24. Une source monochromatique en $r = 0$ émet une onde divergente, enregistrée sur une sphère centrée en $O$ (le miroir), qui réémet le champ retourné : une onde convergente, qui traverse l'origine et se prolonge en onde divergente. Le champ total est la somme d'une onde convergente et d'une onde divergente. Montrer que la finitude du champ en $r = 0$ impose une relation simple entre $U_{c}$ et $U_{d}$ . On note ensuite $U_{c} = U_{0}$ .
Q25. Tracer le module du champ total en fonction de $r$ ; préciser une longueur caractéristique.
Q26. La refocalisation n'est donc pas parfaite : quelle limite fondamentale de la physique des ondes est en cause ? Dans quelle application la retrouve-t-on ?

Contraintes expérimentales.
Q27. On enregistre en réalité avec des capteurs discrets, chacun couvrant une surface $λ^{2} /4$ . Combien en faut-il pour couvrir une sphère de rayon $10 λ$ ?

Corrigé

Q21. Un problème est à symétrie sphérique quand la source et le milieu sont invariants par toute rotation autour de $O$ : le champ ne dépend alors que de la distance $r$ à $O$ et du temps, $u = u (r, t)$ . Ce n'est pas la même chose qu'utiliser les coordonnées sphériques, qui conviennent à n'importe quel problème. Les dérivées par rapport à $θ$ et $φ$ s'annulent et le laplacien se réduit à son premier terme :

$\frac{1}{r} \frac{\partial ^{2} ( r u )}{\partial r ^{2}} - \frac{1}{c _{0}^{2}} \frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = 0 ⟺ \frac{\partial ^{2} ( r u )}{\partial r ^{2}} - \frac{1}{c _{0}^{2}} \frac{\partial ^{2} ( r u )}{\partial t ^{2}} = 0 (r \neq = 0),$

en multipliant par $r$ , qui ne dépend pas du temps. La fonction $r u$ obéit à l'équation de d'Alembert à une dimension : $r u = f (t - r / c_{0}) + g (t + r / c_{0})$ , somme d'une onde qui s'éloigne de $O$ et d'une onde qui s'en approche, avec une amplitude en $1/ r$ (conservation de l'énergie à travers des sphères d'aire $4 π r^{2}$ ).

Q22. En notation complexe, avec la convention $e^{- i ω t}$ du sujet, $\frac{\partial ^{2}}{\partial t ^{2}} \to (- i ω)^{2} = - ω^{2}$ . L'équation devient l'équation de Helmholtz radiale

$\frac{d ^{2} ( r u )}{d r ^{2}} + k^{2} (r u) = 0, k = \frac{ω}{c _{0}} = \frac{2 π}{λ} .$

On garde l'amplitude complexe $u (r, ω)$ : prendre la partie réelle n'est utile qu'à la fin.

Q23. C'est l'équation d'un oscillateur harmonique pour $r u$ : $r u = U_{d} e^{i k r} + U_{c} e^{- i k r}$ . D'où

$u_{d} (r, ω) = \frac{U _{d}}{r} e^{i k r}, u_{c} (r, ω) = \frac{U _{c}}{r} e^{- i k r},$

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