Corrigé X 2025 Physique A PC — Miroir en milieu homogène — Considérations temporelles (Q13 à Q20) : Miroir à retournement temporel à une dimension : signal retourné, refocalisation, puits actif

Sujet officiel du concours X, session 2025, épreuve Physique A PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Milieu unidimensionnel homogène de célérité $c_{0}$ . Un « miroir à retournement temporel » enregistre le signal reçu pendant une première phase, puis le réémet en chronologie inverse. La source $S$ est en $x = 0$ et émet $s (t)$ ; le miroir $M$ est en $x_{0} > 0$ .
Q13. Exprimer le signal $R (t)$ reçu en $M$ .
Q14. $M$ enregistre $R (t)$ pendant la durée $T$ (assez longue pour tout recevoir), puis, à partir de $t = T$ , le réémet lu à l'envers (ce qui est arrivé juste avant $T$ est réémis aussitôt, ce qui est arrivé vers $t = 0$ est réémis vers $t = 2 T$ ). Dessiner sur un axe de $0$ à $2 T$ le signal $s (t)$ (forme au choix), puis $R (t)$ , puis le signal $R_{R T} (t)$ émis par le miroir.
Q15. Exprimer $R_{R T} (t)$ à l'aide de $s$ évalué en un instant $t^{'}$ fonction de $t$ , $T$ , $x_{0}$ , $c_{0}$ .
Q16. On ne retient que les ondes émises par $M$ vers $x \leq x_{0}$ . Écrire le champ $u_{R T} (x, t)$ correspondant, à l'aide de $s$ évalué en un instant $t^{'}$ fonction de $t$ , $T$ , $x$ , $c_{0}$ .
Q17. Signal $s_{R T} (t)$ reçu en $x = 0$ ? Comment la figure d'ouverture (le dessin où un homme crie « HELLO » vers un miroir, qui le lui renvoie) le représente-t-elle ?
Q18. Un second miroir, en $x = - x_{0}$ , émet en même temps que le premier. Champ total $u_{R T 2} (x, t)$ pour $- x_{0} \leq x \leq x_{0}$ .
Q19. $s (t)$ est une impulsion brève. Représenter $u_{R T 2} (x, t)$ à plusieurs instants autour de $2 T$ ; à un changement d'origine des temps près, y identifier les solutions causale et anti-causale de Q7 et Q8.
Q20. Que faire au niveau de la source pour ne recréer que la solution anti-causale (champ nul pour $t \geq 2 T$ ) ?

Corrigé

On garde la normalisation de Q7 : un point qui émet le signal $e (t)$ crée à la distance $d$ le champ $e (t - d / c_{0})$ (milieu non dispersif et sans absorption, ondes non atténuées à une dimension). Le signal $s$ est nul hors de l'intervalle $[0, θ]$ , de durée $θ$ courte devant $x_{0} / c_{0}$ et devant $T$ .

Q13. L'onde émise vers les $x$ croissants met la durée $x_{0} / c_{0}$ à atteindre $M$ :

$R (t) = s (t - \frac{x _{0}}{c _{0}}) .$

Vérification : à $t = x_{0} / c_{0}$ , $M$ reçoit $s (0)$ , le début du signal. Ce que le correcteur attend : le retard, et non l'avance $t + x_{0} / c_{0}$ (qui ferait recevoir le signal avant son émission).

Q14. La lecture en chronologie inverse associe à l'instant $t \in [T, 2 T]$ ce qui a été reçu à l'instant symétrique par rapport à $T$ , soit $2 T - t$ : $R_{R T} (t) = R (2 T - t)$ . On choisit un signal dissymétrique (montée brève, descente lente) pour voir le retournement ; $R (t)$ est la même forme retardée de $x_{0} / c_{0}$ ; $R_{R T} (t)$ en est l'image dans un miroir placé à $t = T$ : elle occupe l'intervalle $[2 T - x_{0} / c_{0} - θ, 2 T - x_{0} / c_{0}]$ , avec une montée lente et une chute brusque.

Les trois signaux sur l'axe des temps $[0, 2 T]$ ( $θ ≪ x_{0} / c_{0} < T$ ).

Q15. D'après Q13 et Q14, pour $T \leq t \leq 2 T$ ,

$R_{R T} (t) = R (2 T - t) = s (t^{'}) avec t^{'} = 2 T - t - \frac{x _{0}}{c _{0}},$

et $R_{R T} (t) = 0$ en dehors de $[T, 2 T]$ . L'argument de $s$ décroît quand $t$ croît : le signal est lu à l'envers. Vérification : à $t = 2 T - x_{0} / c_{0}$ , $M$ émet $s (0)$ , le tout début du signal, qu'il avait reçu en premier (à $t = x_{0} / c_{0}$ ) : il le réémet en dernier.

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