Corrigé X 2025 Physique A PC — Ondes et renversement du temps (Q6 à Q12) : Réversibilité de l'équation de d'Alembert, solutions causale et anti-causale, relations de Stokes

Sujet officiel du concours X, session 2025, épreuve Physique A PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Un champ d'ondes scalaire $u (r, t)$ obéit, dans un milieu homogène de célérité $c_{0}$ et sans excitation initiale, à l'équation de d'Alembert

$Δ u - \frac{1}{c _{0}^{2}} \frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = 0. (1)$

Renversement du temps et causalité (une dimension, $u (x, t)$ ).
Q6. Si $u (x, t)$ est solution, $u (x, - t)$ l'est-elle ? Signification physique.
Q7. Une source en $x = 0$ émet le signal $s (t)$ , qui part vers les $x > 0$ et vers les $x < 0$ avec la même amplitude. Écrire la solution causale $u_{0} (x, t \geq 0)$ pour $x > 0$ et pour $x < 0$ ; interpréter.
Q8. On pose $t^{'} = - t$ . Écrire l'onde non causale $u_{0} (x, t^{'} \leq 0)$ et l'interpréter.

Passage d'une interface.
Q9. L'interface $x = 0$ sépare le milieu 1 ( $x \leq 0$ , célérité $c_{1}$ ) du milieu 2 ( $x > 0$ , célérité $c_{2}$ ). Une onde d'amplitude $1$ venant de $x = - \infty$ donne une onde transmise d'amplitude $t_{12}$ et une onde réfléchie d'amplitude $r_{12}$ (figure 1). Pas de question.

Figure 1 — Ondes incidente, réfléchie et transmise à l'interface $x = 0$ .

Q10. Schématiser cette situation renversée dans le temps, avec les amplitudes. Combien d'ondes arrivent sur l'interface, combien en repartent ?
Q11. $r_{21}$ et $t_{21}$ sont les coefficients pour une onde d'amplitude $1$ venant de $x = + \infty$ . En écrivant la situation de Q10 comme superposition de deux situations usuelles, exprimer $t_{21}$ et $r_{21}$ en fonction de $r_{12}$ et $t_{12}$ .
Q12. Ces relations sont-elles vérifiées pour une onde lumineuse à l'interface entre des milieux d'indices $n_{1}$ et $n_{2}$ ?

Corrigé

Renversement du temps et causalité.

Q6. Posons $v (x, t) = u (x, - t)$ . Par dérivation composée, $\frac{\partial v}{\partial t} (x, t) = - \frac{\partial u}{\partial t} (x, - t)$ , puis $\frac{\partial ^{2} v}{\partial t ^{2}} (x, t) = + \frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} (x, - t)$ : les deux changements de signe se compensent. Les dérivées spatiales ne sont pas affectées : $\frac{\partial ^{2} v}{\partial x ^{2}} (x, t) = \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} (x, - t)$ . Donc

$\frac{\partial ^{2} v}{\partial x ^{2}} (x, t) - \frac{1}{c _{0}^{2}} \frac{\partial ^{2} v}{\partial t ^{2}} (x, t) = [\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} - \frac{1}{c _{0}^{2}} \frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}}]_{(x, - t)} = 0 :$

$u (x, - t)$ est aussi solution. Physiquement, le film d'une onde projeté à l'envers montre une onde possible : la propagation décrite par l'équation de d'Alembert est réversible, comme le mouvement de Q1. Comme en Q5, cela tient à ce que l'équation ne contient qu'une dérivée temporelle d'ordre pair ; un terme d'absorption en $\partial u / \partial t$ (frottement, diffusion) détruirait cette propriété. Une onde qui s'éloigne d'une source a donc pour image renversée une onde qui revient vers elle.

Q7. La solution générale de l'équation de d'Alembert à une dimension est $u = F (t - x / c_{0}) + G (t + x / c_{0})$ : une onde progressive vers les $x$ croissants et une onde vers les $x$ décroissants. Pour $x > 0$ , aucune onde ne vient de $+ \infty$ (pas d'excitation initiale, la seule source est en $0$ ) : seul le terme en $t - x / c_{0}$ subsiste. De même, pour $x < 0$ , seul le terme en $t + x / c_{0}$ subsiste. Avec deux amplitudes égales, et en normalisant le champ par sa valeur au point source, $u_{0} (0, t) = s (t)$ :

$u_{0} (x, t) = ⎩ ⎨ ⎧ s (t - \frac{x}{c _{0}}) s (t + \frac{x}{c _{0}}) pour x \geq 0, pour x \leq 0, soit u_{0} (x, t) = s (t - \frac{∣ x ∣}{c _{0}}),$

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →