Corrigé X 2025 Physique A PC — Questions préliminaires de mécanique (Q1 à Q5) : Renversement du temps en mécanique : force électrique et frottement fluide

Sujet officiel du concours X, session 2025, épreuve Physique A PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le problème étudie les miroirs à retournement temporel (Mathias Fink) : enregistrer une onde, puis la réémettre en chronologie inverse pour la faire revenir se focaliser sur sa source. La figure d'ouverture du sujet est un dessin humoristique : un homme crie « HELLO » vers un miroir ; le mot vient frapper le miroir, puis repart vers l'homme et rentre dans sa bouche.

Une particule de masse $m$ et de charge $q$ est en $O$ à $t = 0$ , avec la vitesse $v_{0} = v_{0} e_{x}$ . Aucune autre force que celle qui est indiquée n'agit.
Q1. Dans le champ électrique uniforme $E = E_{0} e_{x}$ , établir l'équation horaire $r (t)$ .
Q2. Que devient-elle quand on change $t$ en $- t$ et le signe de la condition initiale ? Y a-t-il invariance par renversement du temps ?
Q3. Même particule, même condition initiale, soumise cette fois à un frottement fluide de constante $K$ (à la place du champ) : équation horaire.
Q4. Y a-t-il invariance par renversement du temps ?
Q5. Quelle différence fondamentale entre les deux forces explique ces comportements ? D'où vient-elle mathématiquement ?

Corrigé

Q1. Système : la particule. Référentiel : celui du laboratoire, supposé galiléen. Bilan des forces : la seule force électrique $q E = q E_{0} e_{x}$ (l'énoncé ne mentionne pas le poids : on ne l'ajoute pas). Le principe fondamental de la dynamique s'écrit

$m \frac{d ^{2} r}{d t ^{2}} = q E_{0} e_{x} .$

Projeté sur les trois axes : $m x ¨ = q E_{0}$ , $m y ¨ = 0$ , $m z ¨ = 0$ . Avec $x (0) = y (0) = z (0) = 0$ , $x ˙ (0) = v_{0}$ et $y ˙ (0) = z ˙ (0) = 0$ , deux intégrations donnent

$x (t) = \frac{q E _{0}}{2 m} t^{2} + v_{0} t, y (t) = 0, z (t) = 0.$

Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré selon $O x$ . Homogénéité : $q E_{0} / m$ est une accélération ( $N \cdot k g^{- 1} = m \cdot s^{- 2}$ ).

Q2. Le renversement du temps change $t$ en $- t$ ; il change aussi le signe de toute vitesse, puisque $\frac{d r}{d ( - t )} = - \frac{d r}{d t}$ : renverser la condition initiale $v_{0} \to - v_{0}$ fait donc partie de l'opération elle-même (c'est le film passé à l'envers), ce n'est pas un artifice ajouté pour obtenir l'invariance. On obtient

$x (t) ⟶ \frac{q E _{0}}{2 m} (- t)^{2} + (- v_{0}) (- t) = \frac{q E _{0}}{2 m} t^{2} + v_{0} t,$

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