Corrigé X 2026 Physique A PC — Partie I (Q1 à Q11) : Électronébuliseur : pression électrostatique, limite de Rayleigh, cône de Taylor

Sujet officiel du concours X, session 2026, épreuve Physique A PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Un liquide conducteur sort lentement d'un tube capillaire (diamètre $0, 2 mm$ ) porté à quelques kilovolts par rapport à une électrode voisine. La figure 1 du sujet est une photographie : le liquide forme à la sortie du tube un cône stationnaire, pointe vers le bas, du sommet duquel part un fin jet ; l'angle $θ_{0}$ y est repéré depuis la direction du jet jusqu'à la surface du cône. Le jet se fragmente en gouttelettes chargées qui, par évaporation, donnent des ions.

Condensateur plan.
Q1. Relation entre la densité surfacique $σ$ d'une armature et le champ $E$ entre les armatures.
Q2. Densité volumique d'énergie électrostatique en fonction de $E$ .
Q3. En déduire la force par unité de surface $P$ sur une armature (sens, expression en fonction de $E$ puis de $σ$ ). On admet que $P$ reste la force surfacique sur tout conducteur en électrostatique.

Goutte sphérique conductrice (rayon $R$ , charge $Q$ , sans force extérieure).
Q4. Champ à l'extérieur de la goutte ; expression de $P$ .
Q5. La tension superficielle exerce vers l'intérieur une force surfacique $γ / R$ . Montrer qu'au-delà d'une charge limite (fonction de $R$ et $γ$ ) la force électrostatique l'emporte (instabilité de Rayleigh ; le modèle exact donne une limite $2$ fois plus grande).

Cône de Taylor (courants négligés, électrostatique).
Q6. Équation vérifiée par $V (r)$ hors du cône (vide de charges) ; condition sur la surface du cône conducteur.
Coordonnées sphériques $(r, θ, φ)$ centrées sur le sommet, jet selon $θ = 0$ ; surface du cône : $θ = θ_{0} > π /2$ .
Q7. La tension superficielle, dirigée vers l'intérieur, est proportionnelle à $γ / r$ ; à l'équilibre elle compense la force électrostatique en tout point. Loi de variation de $E$ avec $r$ .
Q8. Solution cherchée : $V = V_{0} + r^{δ} f (θ)$ . Valeur de $δ$ .
Q9. Pourquoi l'équation de Q6 se ramène-t-elle à une équation différentielle du second ordre en $f (θ)$ ?
Q10. Valeur de $f (θ_{0})$ imposée par Q6 (la résolution numérique donne un angle au sommet d'environ $49, 3^{\circ}$ ).
Q11. Variation de la densité surfacique de charge avec $r$ ; pourquoi le jet issu de la pointe donne-t-il des gouttelettes très chargées ?

Corrigé

Condensateur plan.

Q1. Pour un condensateur plan idéal (armatures de surface $S$ grande devant le carré de leur écartement $e$ , effets de bord négligés), le théorème de Gauss appliqué à un cylindre dont une base est dans le métal (où le champ est nul) et l'autre entre les armatures donne un champ uniforme, normal aux armatures, dirigé de l'armature positive vers l'armature négative :

$E = \frac{σ}{ε _{0}} soit σ = ε_{0} E,$

où $σ$ est la densité de l'armature positive. C'est aussi la relation de passage $E_{ext} - 0 = \frac{σ}{ε _{0}} n$ , avec $n$ la normale sortant du conducteur.

Q2. La densité volumique d'énergie électrostatique dans le vide est

$u_{e} = \frac{ε _{0} E ^{2}}{2} (J \cdot m^{- 3}) .$

Q3. Méthode des travaux virtuels. Le condensateur est isolé : les charges $\pm Q = \pm σ S$ sont constantes, donc $E = σ / ε_{0}$ aussi. L'énergie électrostatique, localisée entre les armatures, vaut $W = u_{e} S e$ . Si on écarte une armature de $d e$ , l'opérateur fournit le travail $d W = u_{e} S d e$ ; la force électrostatique subie par l'armature est donc $F_{e} = - \frac{d W}{d e}_{Q} = - u_{e} S$ : elle tend à diminuer $e$ . D'où

$P = \frac{ε _{0} E ^{2}}{2} = \frac{σ ^{2}}{2 ε _{0}},$

en $N \cdot m^{- 2}$ , ce qui est bien homogène à $u_{e}$ ( $J \cdot m^{- 3} = N \cdot m^{- 2}$ ). Sens : chaque armature est attirée vers l'autre, c'est-à-dire tirée depuis le métal vers la région où règne le champ. Pour un conducteur quelconque, la force surfacique est donc normale à la surface et dirigée vers l'extérieur du conducteur, quel que soit le signe de $σ$ (elle est en $σ^{2}$ ). On retrouve ce résultat en disant que la charge surfacique subit la moyenne des champs de part et d'autre de la surface, $\frac{1}{2} (0 + \frac{σ}{ε _{0}})$ : $P = σ \cdot \frac{σ}{2 ε _{0}}$ .

Ce que le correcteur attend : le facteur $\frac{1}{2}$ ; la charge ne subit pas le champ total $σ / ε_{0}$ , auquel elle contribue elle-même.

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →