Corrigé X 2026 Physique A PC — Partie II — Détection (Q37 à Q43) : Détection par charges d'influence : théorème de réciprocité, échantillonnage

Sujet officiel du concours X, session 2026, épreuve Physique A PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Après l'excitation (durée $t_{E}$ ), deux électrodes de détection, plaques métalliques identiques de surface $S$ placées en $y = - d /2$ (indice $1$ ) et $y = d /2$ (indice $2$ ), reliées entre elles et au potentiel nul, captent le mouvement de l'ion. On montre d'abord un lemme.

Q37. $N$ charges ponctuelles $q_{i}$ en $r_{i}$ ( $i = 0, \dots, N - 1$ ) : potentiel $V_{i}$ créé en $r_{i}$ par les $N - 1$ autres charges.
Q38. Mêmes positions, autres charges $q_{i}^{'}$ , potentiels $V_{i}^{'}$ : prouver le théorème de réciprocité $\sum_{i} q_{i} V_{i}^{'} = \sum_{i} q_{i}^{'} V_{i}$ .
On admet qu'il vaut encore si des charges sont remplacées par des électrodes fixes ( $q_{i}$ : charge totale, $V_{i}$ : potentiel). L'ion, de charge $q_{0} = q$ , est en $y = y_{0}$ ( $- d /2 < y_{0} < d /2$ ) ; les électrodes sont à $V_{1} = V_{2} = 0$ ; on cherche $q_{2} - q_{1}$ .
Q39. Autre répartition : $q_{0}^{'} = 0$ , $V_{1}^{'} = - V /2$ , $V_{2}^{'} = V /2$ . Potentiel $V_{0}^{'}$ en $y_{0}$ .
Q40. En déduire $Δ q = q_{2} - q_{1}$ en fonction de $q$ , $y_{0}$ , $d$ . En quoi le dispositif permet-il de déterminer la fréquence de résonance ?
Q41. Raison pratique de placer les électrodes de détection perpendiculairement à $y$ plutôt qu'à $x$ ?
Q42. L'excitation couvre une bande de fréquences ; $Δ q (t)$ est échantillonné puis analysé spectralement. Fréquence minimale d'échantillonnage pour obtenir le spectre de la figure 2 (Q13) avec $B = 7 T$ ; on donne $e / m_{u} = 1 0^{8} C \cdot k g^{- 1}$ .
Q43. Autre avantage, pour la détection, des ions de charge élevée (outre celui de Q21) ?

Corrigé

Q37. Par superposition des potentiels de Coulomb (référence nulle à l'infini), avec $r_{ij} = r_{i} - r_{j}$ :

$V_{i} = j \neq = i \sum \frac{q _{j}}{4 π ε _{0} r _{ij}} .$

Q38. D'après Q37 appliqué à la seconde répartition,

$i \sum q_{i} V_{i}^{'} = i \sum j \neq = i \sum \frac{q _{i} q _{j}^{'}}{4 π ε _{0} r _{ij}} .$

La double somme porte sur tous les couples ordonnés $(i, j)$ avec $i \neq = j$ , et $r_{ij} = r_{j i}$ ; en échangeant les noms des indices puis l'ordre des sommations,

$i \sum j \neq = i \sum \frac{q _{i} q _{j}^{'}}{4 π ε _{0} r _{ij}} = j \sum q_{j}^{'} i \neq = j \sum \frac{q _{i}}{4 π ε _{0} r _{j i}} = j \sum q_{j}^{'} V_{j},$

ce qui est le théorème de réciprocité. Il repose sur la symétrie de l'interaction coulombienne entre deux charges.

Schéma de la détection : orbite de l'ion (tirets) entre les deux électrodes reliées.

Q39. En l'absence de charge entre les plaques ( $q_{0}^{'} = 0$ ), les deux électrodes forment un condensateur plan ; on néglige les effets de bord (dimensions $S$ grandes devant $d$ ). Le potentiel ne dépend que de $y$ et vérifie l'équation de Laplace $\frac{d ^{2} V ^{'}}{d y ^{2}} = 0$ : il est affine, et les conditions $V^{'} (- d /2) = - V /2$ , $V^{'} (d /2) = V /2$ donnent $V^{'} (y) = V \frac{y}{d}$ (champ uniforme $- V / d e_{y}$ ). D'où

$V_{0}^{'} = V \frac{y _{0}}{d} .$

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