Corrigé X 2026 Physique A PC — Partie II — Excitation (Q17 à Q30) : Excitation résonante : résonance cyclotron, spirale d'Archimède, masse critique

Q17. La force s'écrit en complexe $F_x+\mathrm{i}{F}_y=F(\cos \omega t-\mathrm{i}\sin \omega t)=F{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}$ : c'est un champ tournant, de norme constante $F$, qui tourne dans le sens horaire à la pulsation $\omega$. En ajoutant cette force à l'équation de Q16 (principe fondamental de la dynamique, référentiel galiléen) :

$$\ddot{Z}=-\mathrm{i}{\omega }_0\dot{Z}+\frac{F}{m}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}.$$

Q18. $\frac{m}{\tau }v$ est une force : $[\tau ]=\frac{[m][v]}{[F]}=\frac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}}{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}}=\mathrm{s}$. $\tau$ est un temps : la durée de relaxation de la vitesse (en l'absence d'autre force, $\overrightarrow{v}\propto {\mathrm{e}}^{-t/\tau }$), de l'ordre du temps moyen entre deux collisions avec les molécules du gaz résiduel. On rencontre la même force dans le modèle de Drude de la conduction électrique (électron de conduction freiné par $-m\overrightarrow{v}/\tau$, qui conduit à la loi d'Ohm locale $\overrightarrow{j}=\gamma \overrightarrow{E}$ avec $\gamma =n{e}^2\tau /m$), et plus généralement dans le frottement fluide linéaire (loi de Stokes, oscillateur amorti).

Q19. Avec le frottement, $-\frac{m}{\tau }(\dot{x}+\mathrm{i}\dot{y})=-\frac{m}{\tau }\dot{Z}$ :

$$\ddot{Z}+\left(\mathrm{i}{\omega }_0+\frac{1}{\tau }\right)\dot{Z}=\frac{F}{m}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}.$$

En régime forcé, $Z=Z_0{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}$ donne $\left[-{\omega }^2+\left(\mathrm{i}{\omega }_0+\frac{1}{\tau }\right)(-\mathrm{i}\omega )\right]Z_0=\frac{F}{m}$, soit $\left(-{\omega }^2+{\omega }_0\omega -\mathrm{i}\frac{\omega }{\tau }\right)Z_0=\frac{F}{m}$ :

$$Z_0=\frac{F}{m\omega \left({\omega }_0-\omega -\frac{\mathrm{i}}{\tau }\right)}.$$

Homogénéité : $m{\omega }^2$ est en $\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$, et $F/(m{\omega }^2)$ est bien une longueur.

Q20. Le module vaut

$$\left|Z_0\right|=\frac{F}{m\omega \sqrt{({\omega }_0-\omega {)}^2+1/{\tau }^2}}.$$

Si le frottement est faible, au sens ${\omega }_0\tau \gg 1$, le facteur $\sqrt{({\omega }_0-\omega {)}^2+1/{\tau }^2}$ varie beaucoup plus vite que $\omega$ au voisinage de ${\omega }_0$ : $\left|Z_0\right|$ est maximal pour $\omega \simeq {\omega }_0$, où il vaut ${\left|Z_0\right|}_{\max }\simeq \frac{F\tau }{m{\omega }_0}$, très grand devant sa valeur loin de ${\omega }_0$ ($\simeq F/(m\omega \left|{\omega }_0-\omega \right|)$) : c'est une résonance aiguë. Elle est divisée par $\sqrt{2}$ quand $\left|\omega -{\omega }_0\right|=1/\tau$ ; la largeur de la résonance est donc

$$\Delta \omega \simeq \frac{2}{\tau }\sim \frac{1}{\tau },$$

et l'acuité ${\omega }_0/\Delta \omega \sim {\omega }_0\tau$ est grande. Si au contraire ${\omega }_0\tau \lesssim 1$, $\left|Z_0\right|$ décroît de façon monotone et il n'y a pas de résonance.

Q21. Deux ions de rapports $m/z$ voisins, d'écart relatif $\frac{\delta m}{m}$, ont des pulsations cyclotron ${\omega }_0=\frac{zeB}{m}$ d'écart $\delta {\omega }_0={\omega }_0\frac{\delta m}{m}$. Leurs résonances sont séparées si $\delta {\omega }_0\gtrsim \Delta \omega \sim 1/\tau$ (critère analogue à celui d'un pouvoir de résolution) :