Corrigé X 2026 Physique A PC — Partie II — Piégeage (Q31 à Q36) : Piège de Penning : oscillation axiale, mouvements cyclotron et magnétron

Sujet officiel du concours X, session 2026, épreuve Physique A PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Ion de charge $q > 0$ et de masse $m$ dans $B = B e_{z}$ , $ω_{0} = q B / m$ (Q16), $Z = x + i y$ .

Q31. Pourquoi, avec le dispositif précédent, les ions peuvent-ils s'échapper selon $z$ ?
Q32. Des électrodes créent en plus, dans la cellule, le potentiel de piégeage $V (x, y, z) = \frac{α}{2} (- x^{2} - y^{2} + β z^{2})$ , avec $α > 0$ . Composantes de $E$ ; valeur de $β$ sachant que la cellule est vide de charges.
Dans Q33 à Q36, on ignore la force d'excitation et le frottement.
Q33. Montrer que l'ion oscille selon $z$ autour de l'origine à une pulsation $ω_{p}$ (fonction de $q$ , $m$ , $α$ ).
Q34. Comment l'équation du mouvement de $Z (t)$ de Q16 est-elle modifiée par ce potentiel ?
Q35. Solutions $Z = Z_{0} exp (- i ω t)$ , $Z_{0} \neq = 0$ , avec $ω_{p} ≪ ω_{0}$ : montrer qu'il existe deux pulsations réelles $ω_{+} > ω_{-}$ ; les simplifier dans cette limite.
Q36. Montrer que le piégeage modifie un peu la pulsation de résonance et fait apparaître, dans le plan perpendiculaire à $B$ , une oscillation beaucoup plus lente dont la fréquence ne dépend pas de $m / q$ .

Corrigé

Q31. La force magnétique $q v \land B e_{z}$ est perpendiculaire à $e_{z}$ et la force d'excitation est dans le plan $(x, y)$ : aucune force n'agit selon $z$ . D'après Q15, $m z ¨ = 0$ : la composante $v_{z}$ de la vitesse, héritée de l'injection et de l'agitation thermique (Q29), reste constante. L'ion dérive donc à vitesse constante le long des lignes de champ et finit par sortir de la cellule (ou heurter ses parois) : le champ magnétique confine dans le plan $(x, y)$ , pas selon $z$ .

Q32. $E = - grad V$ donne

$E_{x} = α x, E_{y} = α y, E_{z} = - α β z .$

La cellule étant vide de charges, l'équation de Maxwell-Gauss impose $div E = 0$ , c'est-à-dire l'équation de Laplace $Δ V = 0$ :

$Δ V = \frac{α}{2} (- 2 - 2 + 2 β) = 0 ⟺ β = 2.$

Ainsi $V = \frac{α}{2} (2 z^{2} - x^{2} - y^{2})$ et $E = α (x e_{x} + y e_{y} - 2 z e_{z})$ : ce potentiel quadripolaire rappelle vers le plan $z = 0$ mais repousse radialement, comme l'exige le théorème d'Earnshaw (un potentiel électrostatique n'a pas de minimum dans le vide).

Q33. La force magnétique n'a pas de composante selon $z$ . Le principe fondamental de la dynamique projeté sur $e_{z}$ (référentiel galiléen) donne

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