Corrigé X 2026 Physique A PC — Partie II (Q12 à Q16) : Spectre de masse d'une protéine et mouvement cyclotron

Sujet officiel du concours X, session 2026, épreuve Physique A PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Spectrométrie de masse à résonance cyclotronique ionique (FT-ICR-MS). La figure 2 donne le spectre de masse d'une protéine : intensité détectée (proportionnelle au nombre d'ions) en fonction de $m / z$ , la masse $m$ étant en unités de masse atomique ( $m$ voisine du nombre de nucléons).

Figure 2 — Spectre de masse d'une protéine (hauteurs lues sur le sujet ; bruit de fond non reproduit ; les pics que le sujet n'étiquette pas, vers $877$ , $919$ et $1063$ , sont reproduits sans étiquette ; les petits pics $1621, 23$ , $1702, 17$ , $1791, 73$ et $1891, 22$ , étiquetés sur le sujet, ne le sont pas ici).

Q12. Pourquoi le mouvement d'un ion dans un champ électromagnétique connu ne donne-t-il accès qu'à $m / q$ ?
Q13. Pourquoi $q = z e$ ( $z$ entier positif) ? Les pics principaux correspondent à divers $z$ d'une même protéine : déterminer $z$ pour les pics $m / z = 1000, 15$ et $1999, 30$ , puis la masse $m$ et l'ordre de grandeur du nombre d'atomes.
Q14. Dispositif créant dans la cellule d'analyse un champ $B = B e_{z}$ uniforme et constant ( $B > 0$ ).
Q15. Équation du mouvement de l'ion dans ce champ, en coordonnées cartésiennes.
Q16. Avec $Z (t) = x (t) + i y (t)$ : équation du mouvement de $Z$ ; solution $Z = Z_{0} exp (- i ω_{0} t)$ ; $ω_{0}$ en fonction de $q$ , $B$ , $m$ (à vérifier soigneusement).

Corrigé

Q12. L'ion (charge $q$ , masse $m$ ), dans un référentiel galiléen, n'est soumis qu'à la force de Lorentz (son poids est négligeable). Le principe fondamental de la dynamique s'écrit

$\frac{d v}{d t} = \frac{q}{m} (E + v \land B) .$

Les champs $E$ et $B$ étant connus, l'équation du mouvement ne fait intervenir la masse et la charge qu'à travers le rapport $q / m$ : deux ions de même $m / q$ , lancés dans les mêmes conditions initiales, ont exactement la même trajectoire. Observer le mouvement ne mesure que $m / q$ ; il faut connaître $q$ par ailleurs pour obtenir $m$ .

Q13. Quantification. La charge électrique est quantifiée : toute charge libre est un multiple entier de la charge élémentaire $e$ . L'ion est formé en arrachant $z$ électrons à la molécule neutre (ou en lui fixant $z$ protons, ce qui est en réalité le cas en électronébulisation) : $q = z e$ avec $z$ entier positif, l'ion étant un cation.

Détermination de $z$ . Le rapport des deux abscisses indiquées vaut $\frac{1999 , 30}{1000 , 15} = 1, 999 \approx 2$ : à masse égale, le pic de $1000, 15$ porte deux fois plus de charges que celui de $1999, 30$ , $z_{2} = 2 z_{1}$ . Plus finement, deux pics voisins de la série principale correspondent à $z$ et $z + 1$ : si $\frac{m}{z} = a$ et $\frac{m}{z + 1} = b < a$ , alors $z = \frac{b}{a - b}$ . Avec les pics voisins $a = 1999, 30$ et $b = 1888, 29$ :

$z_{1} = \frac{1888 , 29}{1999 , 30 - 1888 , 29} = \frac{1888 , 29}{111 , 01} \approx 17, 0.$

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