Corrigé X 2026 Physique et SI MP — Physique, partie 1 (Q1 à Q5) : Ondes électromagnétiques dans l'ionosphère : conductivité du plasma, pulsation plasma, dispersion, choix de la bande Ku

Q1. a. Système : une particule de charge $q$ et de masse $m$, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le plasma étant peu dense, on néglige les collisions ; le poids est négligeable devant la force électromagnétique, et le champ magnétique terrestre est négligé par l'énoncé. Le principe fondamental de la dynamique (force de Lorentz) donne

$$\boxed{m\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}=q\left[\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)+\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{B}(\overrightarrow{r},t)\right].}$$

b. Pour une onde électromagnétique (plane, dans un milieu peu dense), les champs sont liés par une relation de structure : $\Vert \overrightarrow{B}\Vert \sim \Vert \overrightarrow{E}\Vert /c$ (au plus d'ordre $E/v_{\phi }$ avec $v_{\phi }\ge c$ ici, voir Q4). Le rapport des deux termes de la force de Lorentz vaut donc

$$\frac{\Vert q\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{B}\Vert }{\Vert q\overrightarrow{E}\Vert }\lesssim \frac{vB}{E}\sim \frac{v}{c}\ll 1.$$

Pour des particules non relativistes, la force magnétique de l'onde est négligeable. De même, l'amplitude du déplacement de la particule ($v/\omega$) est très petite devant la longueur d'onde ($v_{\phi }/\omega$) ; on peut donc évaluer le champ à la position moyenne de la particule et confondre $\mathrm{d}\overrightarrow{v}/\mathrm{d}t$ avec $\partial \overrightarrow{v}/\partial t$ (le terme convectif $(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\overrightarrow{v}$, d'ordre $k{v}^2$, est dans le rapport $kv/\omega =v/v_{\phi }\ll 1$ avec $\partial \overrightarrow{v}/\partial t$). Il reste

$$\boxed{m\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}=q\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t).}$$

Q2. a. En régime sinusoïdal forcé, $-\mathrm{i}\omega m\underline{\overrightarrow{v}}=q\underline{\overrightarrow{E}}$ donne une vitesse d'amplitude $\left|q\right|E_0/(m\omega )$, inversement proportionnelle à la masse. Les ions et les électrons ayant la même densité et des charges opposées de même valeur absolue, le rapport des densités de courant est

$$\frac{\Vert {\overrightarrow{ȷ}}_i\Vert }{\Vert {\overrightarrow{ȷ}}_e\Vert }=\frac{n_{i}e{v}_i}{n_{e}e{v}_e}=\frac{m_e}{m_i}\le \frac{m_e}{m_p}=\frac{9,1\times 10^{-31}}{1,6\times 10^{-27}}\approx 6\times 10^{-4},$$

et encore moins pour des ions moléculaires (plusieurs nucléons). Le courant est porté par les électrons : les ions, trop lourds, restent pratiquement immobiles (ils assurent la neutralité). Les atomes et molécules neutres, non chargés, ne contribuent pas non plus.

b. Pour un électron ($q=-e$, $m=m_e$), avec $\partial /\partial t\to -\mathrm{i}\omega$ :

$$-\mathrm{i}\omega m_e\underline{\overrightarrow{v}}=-e\underline{\overrightarrow{E}}⟹\underline{\overrightarrow{v}}=\frac{e}{\mathrm{i}\omega m_e}\underline{\overrightarrow{E}}=-\mathrm{i}\frac{e}{m_e\omega }\underline{\overrightarrow{E}}.$$

La densité de courant $\underline{\overrightarrow{ȷ}}=n_e(-e)\underline{\overrightarrow{v}}$ vaut donc

$$\underline{\overrightarrow{ȷ}}=\mathrm{i}\frac{n_e{e}^2}{m_e\omega }\underline{\overrightarrow{E}}=\underline{\sigma }\underline{\overrightarrow{E}},\boxed{\underline{\sigma }=\mathrm{i}\frac{n_e{e}^2}{m_e\omega }.}$$

$\underline{\sigma }$ est imaginaire pur : $\overrightarrow{ȷ}$ est en quadrature avec $\overrightarrow{E}$, la puissance volumique moyenne $⟨\overrightarrow{ȷ}\cdot \overrightarrow{E}⟩=\frac{1}{2}\mathrm{Re}(\underline{\sigma })E_0^2$ est nulle, le plasma ne dissipe pas d'énergie. (Avec la convention ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\omega t-kz)}$ du cours, on trouve le conjugué $-\mathrm{i}{n}_e{e}^2/(m_e\omega )$ : le signe de $\mathrm{i}$ dépend seulement de la convention.)