Corrigé X 2026 Physique et SI MP — Physique, parties 2.1-2.2 (Q6 à Q12) : Points de Lagrange : référentiel synodique, pseudo-potentiel, constante de Jacobi, positions de L4, L5 et L1

Q6. a. Le système \{S, T\} est isolé (la masse de P est négligeable) : son centre de masse $O$ est en mouvement rectiligne uniforme dans un référentiel galiléen, et ${\mathcal{R}}_s$, d'origine $O$ et d'axes liés aux étoiles fixes, est galiléen. Par définition du barycentre, $M_S{\overrightarrow{R}}_S+M_T{\overrightarrow{R}}_T=\overrightarrow{0}$ avec ${\overrightarrow{R}}_T-{\overrightarrow{R}}_S=\overrightarrow{R}$, d'où

$${\overrightarrow{R}}_T=\frac{M_S}{M}\overrightarrow{R},{\overrightarrow{R}}_S=-\frac{M_T}{M}\overrightarrow{R}.$$

La Terre décrit donc, dans ${\mathcal{R}}_s$, un cercle de rayon $R_T=M_{S}R/M$ à la vitesse angulaire constante $\Omega$ ; son accélération est centripète, $-{\Omega }^2{\overrightarrow{R}}_T$. Le principe fondamental de la dynamique appliqué à T, soumise à la seule attraction du Soleil, s'écrit

$$-M_T{\Omega }^2\frac{M_S}{M}R\frac{\overrightarrow{R}}{R}=-\frac{G{M}_S{M}_T}{R^2}\frac{\overrightarrow{R}}{R}⟹\boxed{\Omega =\sqrt{\frac{GM}{R^3}}=\sqrt{\frac{G(M_S+M_T)}{R^3}}.}$$

C'est la troisième loi de Kepler du problème à deux corps, $T^2/R^3=4{\pi }^2/(GM)$.

b. $T=2\pi /\Omega$ est la période de révolution de la Terre autour du Soleil (plus exactement du couple Soleil--Terre autour de leur centre de masse) : c'est l'année sidérale,

$$\boxed{T\approx 1\mathrm{an}\approx 365\mathrm{jours}\approx 3,2\times 10^7\mathrm{s}.}$$

L'unité la plus adaptée est l'année. (Vérification avec les données : $\Omega =\sqrt{6,7\times 10^{-11}\times 2,0\times 10^{30}/(1,5\times 10^{11}{)}^3}\approx 2,0\times 10^{-7}\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$, $T\approx 3,2\times 10^7\mathrm{s}$.)

Q7. a. On étudie P dans ${\mathcal{R}}_{\Omega }$, en rotation uniforme à $\overrightarrow{\Omega }=\Omega {\overrightarrow{e}}_z$ autour de l'axe fixe $(O,{\overrightarrow{e}}_z)$ de ${\mathcal{R}}_s$ galiléen. Forces sur P : attractions de S et de T, $-\frac{G{M}_{S}m}{r_S^3}{\overrightarrow{r}}_S$ et $-\frac{G{M}_{T}m}{r_T^3}{\overrightarrow{r}}_T$ ; force d'inertie d'entraînement $-m\overrightarrow{\Omega }\wedge (\overrightarrow{\Omega }\wedge \overrightarrow{r})$ ; force d'inertie de Coriolis $-2m\overrightarrow{\Omega }\wedge \overrightarrow{v}$. Avec la formule du double produit vectoriel et $\overrightarrow{\Omega }\cdot \overrightarrow{r}=0$ (P dans le plan $z=0$) :

$$\begin{array}{c}-m\overrightarrow{\Omega }\wedge (\overrightarrow{\Omega }\wedge \overrightarrow{r})=-m\left[(\overrightarrow{\Omega }\cdot \overrightarrow{r})\overrightarrow{\Omega }-{\Omega }^2\overrightarrow{r}\right]=m{\Omega }^2(x{\overrightarrow{e}}_x+y{\overrightarrow{e}}_y),\\ -2m\Omega {\overrightarrow{e}}_z\wedge (\dot{x}{\overrightarrow{e}}_x+\dot{y}{\overrightarrow{e}}_y)=2m\Omega (\dot{y}{\overrightarrow{e}}_x-\dot{x}{\overrightarrow{e}}_y).\end{array}$$

Le principe fondamental de la dynamique dans ${\mathcal{R}}_{\Omega }$ s'écrit, après division par $m$, en projection sur ${\overrightarrow{e}}_x$ et ${\overrightarrow{e}}_y$ :

$$\ddot{x}-2\Omega \dot{y}=F_x,\ddot{y}+2\Omega \dot{x}=F_y,\overrightarrow{F}=-\frac{G{M}_S}{r_S^3}{\overrightarrow{r}}_S-\frac{G{M}_T}{r_T^3}{\overrightarrow{r}}_T+{\Omega }^2\overrightarrow{r}.$$

Or chacun des trois termes de $\overrightarrow{F}$ est un gradient : $\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left(\frac{G{M}_S}{r_S}\right)=-\frac{G{M}_S}{r_S^2}\frac{{\overrightarrow{r}}_S}{r_S}$ (S étant fixe dans ${\mathcal{R}}_{\Omega }$), de même pour T, et $\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left(\frac{1}{2}{\Omega }^2{r}^2\right)={\Omega }^2\overrightarrow{r}$. Donc $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{\mathrm{grad}}U$, ce qui donne exactement les équations (2) : la force de Coriolis figure au premier membre, les forces conservatives dans $U$.

b.

$$\boxed{U(\mathrm{P})=\frac{G{M}_S}{r_S}+\frac{G{M}_T}{r_T}+\frac{1}{2}{\Omega }^2{r}^2}$$