Corrigé X 2026 Physique et SI MP — SI, partie 2.3 (Q28 à Q30) : Validation du déploiement : verrouillage des charnières, critères du cahier des charges, choc et amortissement

Q28. Non. Les équations (54) ont été établies avec deux liaisons pivots libres, dont les seules actions selon $\overrightarrow{z_0}$ sont les couples des ressorts $-K_2{\alpha }_2$ et $-K_3{\alpha }_3$. Elles ne sont valables que tant que ${\alpha }_2>0$ et ${\alpha }_3<0$, soit pour $0\le t<6,75\mathrm{s}$.

À $t\approx 6,75\mathrm{s}$, ${\alpha }_2$ atteint $0$ (figure 6) : la charnière principale se verrouille et le bras 2 devient solidaire de 0 (liaison encastrement). Le moment exercé par 0 sur 2 selon $\overrightarrow{z_0}$ comporte alors un couple de blocage inconnu, et la première équation, qui provient du théorème du moment dynamique appliqué au bras, n'est plus valable. Pour obtenir les courbes, il a fallu :

• détecter l'instant où ${\alpha }_2$ s'annule (événement d'intégration) ;
• pour $t>6,75\mathrm{s}$, imposer ${\alpha }_2=0$, ${\dot{\alpha }}_2={\ddot{\alpha }}_2=0$ et ne résoudre que la seconde équation, qui devient $F{\ddot{\alpha }}_3+K_3{\alpha }_3=0$ (oscillateur harmonique de pulsation $\sqrt{K_3/F}=\sqrt{0,05/2,30}\approx 0,15\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$) ; la simulation repart de l'état atteint à $6,75\mathrm{s}$ (${\alpha }_3\approx -50^{\circ }$) ;
• de même, bloquer ${\alpha }_3=0$ quand le panneau atteint sa butée ($t\approx 7,7\mathrm{s}$) : au-delà, plus rien ne bouge.

Une intégration numérique des équations (54), réalisée pour ce corrigé avec les données du sujet, reproduit les figures 6 et 7 : verrouillage du bras à $t=6,75\mathrm{s}$ avec ${\dot{\alpha }}_2\approx -0,47\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ et ${\alpha }_3\approx -49,7^{\circ }$, puis fin du déploiement à $t\approx 7,72\mathrm{s}$, en conservant ${\dot{\alpha }}_3$ continu au verrouillage (pente de ${\alpha }_3$ continue sur la figure 6).