Corrigé X 2026 Physique et SI MP — SI, partie 3 (Q31 à Q37) : Orientation des panneaux : asservissement du SADA, boucle de vitesse, précision en échelon et en rampe

Sujet officiel du concours X, session 2026, épreuve Physique et SI MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Panneaux déployés et verrouillés, l'arbre 1 oriente l'aile autour de $(O_{1}, x_{1})$ vers le Soleil. La rotation est produite par le SADA (Solar Array Drive Assembly, figure 8 du sujet : vue en coupe montrant moteur, roue motrice, roue menée, collecteur tournant, câbles, interfaces avec les panneaux et avec le satellite), commandé par une boucle de vitesse et une boucle de position ; hypothèses des SLCI.

Chaîne : la consigne $θ_{c}$ est comparée à la position $θ_{r}$ de l'arbre de sortie du réducteur (capteur de gain unitaire) ; un comparateur de gain $K_{G} = 10 V \cdot ra d^{- 1}$ convertit l'écart en tension $U$ ; $U$ est comparée à l'image $K_{C} ω_{m}$ de la vitesse du moteur (codeur, $K_{C} = 1 V \cdot s \cdot ra d^{- 1}$ ) ; l'écart passe par le régulateur de vitesse $H_{v} (p)$ puis par le variateur de gain $K_{a} = 1, 3$ , qui fournit la tension moteur $U_{m}$ ; moteur du premier ordre, $K_{m} = 1, 8 rad \cdot s^{- 1} \cdot V^{- 1}$ , $τ_{m} = 0, 016 s$ ; réducteur de rapport $1/18$ .

{Figure 9 — Schéma de la commande (à compléter).}

Q31. Compléter le schéma de la figure 9.
Q32. Avec $H_{v} (p) = K_{v}$ , montrer que $H_{1} (p) = Ω_{m} / U$ est un premier ordre ; gain $K_{1}$ et constante de temps $τ_{1}$ en fonction de $τ_{m}$ , $K_{m}$ , $K_{a}$ , $K_{v}$ , $K_{C}$ .
Q33. Boucle $H_{1}$ seule, échelon d'amplitude $U_{0}$ : valeur de $K_{v}$ pour une erreur statique en sortie inférieure à $5 %$ de $U_{0} / K_{C}$ .
Q34. Ajouter un correcteur $C (p)$ dans la boucle de position.
Q35. $C (p)$ proportionnel : fonction de transfert en boucle ouverte ; ordre et classe.
Q36. Erreur statique pour une consigne de position en échelon.
Q37. L'erreur est-elle nulle pour une consigne en rampe ? Sinon, quel correcteur envisager ?

Corrigé

Q31. On place les blocs dans l'ordre de la chaîne : comparateur-convertisseur $K_{G}$ , régulateur $H_{v} (p)$ , variateur $K_{a}$ , moteur $\frac{K _{m}}{1 + τ _{m} p}$ (de $U_{m}$ à $Ω_{m}$ ), réducteur $\frac{1}{18}$ (de $Ω_{m}$ à $Ω_{r}$ ), puis l'intégrateur $\frac{1}{p}$ , puisque la position est l'intégrale de la vitesse ( $θ_{r} (t) = \int ω_{r} d t$ , conditions initiales nulles). Le retour interne porte le codeur $K_{C}$ (de $Ω_{m}$ vers le second comparateur) ; le retour externe, sans bloc, est le capteur angulaire de gain unitaire.

Homogénéité : $K_{G} [V \cdot ra d^{- 1}] \times Θ [rad] = U [V]$ et $K_{C} Ω_{m}$ est aussi en volts : les deux entrées du second comparateur sont bien de même nature.

Q32. La boucle de vitesse a pour chaîne directe $K_{v} K_{a} \frac{K _{m}}{1 + τ _{m} p}$ et pour retour $K_{C}$ . Par la formule de Black :

$H_{1} (p) = \frac{Ω _{m} ( p )}{U ( p )} = \frac{K _{v} K _{a} \frac{K _{m}}{1 + τ _{m} p}}{1 + K _{v} K _{a} K _{C} \frac{K _{m}}{1 + τ _{m} p}} = \frac{K _{v} K _{a} K _{m}}{1 + K _{v} K _{a} K _{m} K _{C} + τ _{m} p},$

soit, en divisant par $1 + K_{v} K_{a} K_{m} K_{C}$ , un premier ordre $H_{1} (p) = \frac{K _{1}}{1 + τ _{1} p}$ avec

$K_{1} = \frac{K _{v} K _{a} K _{m}}{1 + K _{v} K _{a} K _{m} K _{C}}, τ_{1} = \frac{τ _{m}}{1 + K _{v} K _{a} K _{m} K _{C}} .$

Le bouclage divise la constante de temps (et le gain) par $1 + K_{B O, v}$ , avec $K_{B O, v} = K_{v} K_{a} K_{m} K_{C}$ le gain de boucle : la boucle de vitesse est plus rapide que le moteur seul.

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