Corrigé X 2026 Physique et SI MP — SI, parties 1 à 2.2 (Q18 à Q27) : Déploiement des panneaux solaires : graphe de liaisons, schéma cinématique, inertie, torseurs dynamiques, équations du mouvement

Sujet officiel du concours X, session 2026, épreuve Physique et SI MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Une aile de panneaux solaires de SMILE (figure 3 du sujet : photographie du satellite, panneaux repliés puis déployés) : satellite 0 ; arbre 1, pivot d'axe $(O_{1}, x_{1})$ par rapport à 0 ; bras 2, pivot d'axe $(O_{2}, z_{2})$ par rapport à 1 (charnière principale) ; panneaux 3, 4, 5. Entre 2 et 3, charnières en $J_{3}$ (passive) et $I_{3}$ (active, à ressort), chacune autorisant les trois rotations ; de même $J_{4}$ , $I_{4}$ (3--4) et $J_{5}$ , $I_{5}$ (4--5). Notations : ${T_{i \to j}}$ , ${D_{j / i}}$ , $V_{j, i} (M)$ , $a_{j, i} (M)$ .

{Figure 4 — Schéma et paramétrage d'une aile de panneaux solaires en cours de déploiement.}

Q18. Graphe de liaisons du mécanisme (ressorts ignorés).
Q19. Schéma cinématique (configuration déployée possible).

Modèle plan.

Bras 2 et panneau 3 ; 1 bloqué ( $z_{0} = z_{1}$ ) ; pivots $(O_{2}, z_{0})$ (2/0) et $(O_{3}, z_{0})$ (3/2) à ressorts de torsion $K_{2}$ , $K_{3}$ ; $α_{2} = (x_{0}, x_{2})$ , $α_{3} = (x_{2}, x_{3})$ , valeurs initiales $+ 9 0^{\circ}$ et $- 18 0^{\circ}$ , liaisons bloquées quand $α$ atteint $0$ . Cahier des charges : déploiement en moins de $8 s$ ; aucun point à plus de $1, 0 m$ de $O_{2}$ suivant $y_{0}$ . Solides indéformables ; gravité et vibrations des blocages négligées.

{Figure 5 — Système étudié (ici $α_{2} > 0$ , $α_{3} < 0$ ).}

géométrie	$O_{2} G_{2} = \frac{L}{4} x_{2}$ , $O_{2} O_{3} = \frac{L}{2} x_{2}$ , $O_{3} G_{3} = \frac{L}{2} x_{3}$ , $O_{3} M_{3} = L x_{3}$
panneau 3	$L = 1, 20 m$ ( $x_{3}$ ), $l = 0, 84 m$ ( $z_{3}$ ), $e = 0, 02 m$ ( $y_{3}$ ), $m_{3} = 4, 8 kg$
bras 2	$m_{2} = 3 kg$ , $I_{G_{2}, 2} = diag (A_{2}, B_{2}, C_{2})_{(x_{2}, y_{2}, z_{2})}$
	$A_{2} = 0, 3$ , $B_{2} = 0, 5$ , $C_{2} = 1, 0 kg \cdot m^{2}$
ressorts	$K_{2} = 0, 07 N \cdot m \cdot ra d^{- 1}$ , $K_{3} = 0, 05 N \cdot m \cdot ra d^{- 1}$

Q20. $R_{0}$ (satellite) est-il galiléen ? Sinon, pourquoi l'y assimiler ?
Q21. Justifier $I_{G_{3}, 3} = diag (A_{3}, B_{3}, C_{3})$ dans $(x_{3}, y_{3}, z_{3})$ ; expressions.
Q22. Ressorts : $M_{O_{2}, 0 \to 2} = - K_{2} α_{2} z_{0}$ et $M_{O_{3}, 2 \to 3} = - K_{3} α_{3} z_{0}$ . Écrire ${T_{0 \to 2}}$ et ${T_{2 \to 3}}$ dans $R_{2}$ .
Q23. Exprimer $V_{2, 0} (G_{2})$ et $V_{3, 0} (G_{3})$ .
Q24. Exprimer $a_{2, 0} (G_{2})$ et $a_{3, 0} (G_{3})$ dans $R_{2}$ .
Q25. En déduire ${D_{2/0}}$ en $O_{2}$ et ${D_{3/0}}$ en $O_{3}$ .
Q26. Les deux équations différentielles du mouvement.
Q27. Les mettre sous la forme (54) : $A (α_{3}) α ¨_{2} + B (α_{3}) α ¨_{3} - C (α_{3}) (α ˙_{3} + α ˙_{2})^{2} + K_{2} α_{2} - E α_{3} = 0$ et $F α ¨_{3} + G (α_{3}) α ¨_{2} + H (α_{3}) α ˙_{2}^{2} + K_{3} α_{3} = 0$ .

Corrigé

Q18. Les solides sont 0, 1, 2, 3, 4, 5. Liaisons : 0--1 pivot d'axe $(O_{1}, x_{1})$ ; 1--2 pivot d'axe $(O_{2}, z_{2})$ (charnière principale) ; entre deux solides successifs parmi 2, 3, 4, 5, deux charnières qui autorisent chacune les trois rotations, donc deux liaisons sphériques (rotules) en parallèle, de centres $J_{k}$ et $I_{k}$ .

Chaque couple de rotules de centres $J_{k}$ , $I_{k}$ est cinématiquement équivalent à une pivot d'axe $(J_{k} I_{k})$ (dirigé selon $z_{k}$ ) : seule la rotation autour de la droite joignant les deux centres reste possible. Complément : le graphe comporte $γ = 3$ cycles indépendants ; inconnues cinématiques $I_{c} = 1 + 1 + 3 \times (3 + 3) = 20$ , équations $6 γ = 18$ , mobilités utiles $m = 5$ (une rotation par solide mobile), d'où un degré d'hyperstatisme $h = m + 6 γ - I_{c} = 5 + 18 - 20 = 3$ : dans chaque paire de rotules, la translation le long de l'axe $(J_{k} I_{k})$ est bloquée deux fois. Ces hyperstatismes sont levés en pratique par les jeux des charnières.

Q19. Schéma cinématique en configuration déployée, dans le plan de l'aile $(x_{1}, z)$ (tous les axes de charnières sont alors parallèles à $z_{2}$ ) :

Lecture : le bâti 0 porte le palier de la pivot d'axe $x_{1}$ (rectangle traversé par l'arbre 1, épaulé des deux côtés) ; l'arbre 1 porte le palier de la pivot d'axe $z_{2}$ du bras 2 ; les panneaux sont reliés deux à deux par deux rotules (sphère d'un solide dans la calotte de l'autre) de centres alignés selon $z$ .

Q20. Non, en toute rigueur. Le satellite est en orbite (autour de la Terre pour SMILE, au voisinage de $L_{1}$ pour SoHO et WIND) : son centre de masse est accéléré, et le satellite peut tourner sur lui-même. Plusieurs considérations permettent pourtant de l'assimiler à un référentiel galiléen pendant le déploiement :

translation : le satellite est en chute libre ; dans un référentiel en translation avec son centre de masse, la force d'inertie d'entraînement compense exactement l'attraction gravitationnelle en ce point, et il ne reste que des termes de marée, proportionnels à la taille du système (quelques mètres) et totalement négligeables ; c'est pourquoi l'énoncé néglige aussi la gravité ;
rotation : l'orientation du satellite varie lentement, d'un tour par an pour un satellite en $L_{1}$ ( $Ω \approx 2 \times 1 0^{- 7} rad \cdot s^{- 1}$ ) à un tour par orbite (quelques dizaines d'heures, $Ω \sim 1 0^{- 5} rad \cdot s^{- 1}$ ) pour un satellite en orbite terrestre haute : c'est négligeable devant les vitesses angulaires du déploiement (de l'ordre de $0, 1$ à $1 rad \cdot s^{- 1}$ , $9 0^{\circ}$ en quelques secondes) : les forces de Coriolis et centrifuge sont négligeables ;
durée : le déploiement (moins de $8 s$ ) est très court devant la période orbitale ;
recul : le déploiement fait reculer le satellite (actions réciproques), mais la masse du satellite (plusieurs centaines de kilogrammes au moins) est très grande devant celle des panneaux et du bras (quelques kilogrammes) : son accélération de recul est négligeable.

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