Corrigé X-ENS 2025 Physique B PC — Partie I (Q11 à Q16) : Électron dans le champ du noyau et du laser : barrière, effet tunnel, harmoniques impaires

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2025, épreuve Physique B PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

L'atome d'argon est assimilé à un atome d'hydrogène ( $q^{2} = e^{2} / (4 π ε_{0})$ ). Modèle classique à une dimension : l'électron, de charge $- e$ et de masse $m$ , se déplace sur l'axe $O x$ ; le noyau est fixe en $O$ ; le champ du laser est $E = - E_{0} e_{x}$ , uniforme et constant, avec $E_{0} > 0$ .

Q11. Exprimer l'énergie potentielle de l'électron en fonction de $q^{2}$ , $e E_{0}$ et $x$ ; tracer son allure.
Q12. L'électron a l'énergie mécanique $- I_{P}$ . Montrer qu'au-delà d'un champ de « saturation » $E_{sat}$ il échappe au noyau et part à l'infini ; exprimer $E_{sat}$ en fonction de $I_{P}$ , $q^{2}$ et $e$ .
Q13. Quel effet quantique lui permet de s'échapper, avec une certaine probabilité, même si $E_{0} < E_{sat}$ ?
Q14. Le champ devient $E (t) = - E_{0} sin (ω t) e_{x}$ . Écrire l'équation différentielle du mouvement, séparément pour $x > 0$ et pour $x < 0$ .
Q15. Le mouvement forcé est la solution $x (t)$ périodique de période $T = 2 π / ω$ . Justifier succinctement que $x (t + T /2) = - x (t)$ .
Q16. Quelles harmoniques de la série de Fourier de $x (t)$ sont compatibles avec cette condition ?

Corrigé

Q11. L'énergie potentielle est la somme de deux termes.

Interaction coulombienne avec le noyau (charge $+ e$ ) à la distance $∣ x ∣$ : $E_{p, 1} = - \frac{q ^{2}}{∣ x ∣}$ .
Champ uniforme du laser : le potentiel électrostatique $V$ vérifie $E = - \frac{d V}{d x} e_{x}$ , soit $\frac{d V}{d x} = E_{0}$ et $V = E_{0} x$ (origine en $O$ ). L'énergie potentielle de la charge $- e$ est $E_{p, 2} = - e V = - e E_{0} x$ . Vérification : la force $- \frac{d E _{p, 2}}{d x} e_{x} = e E_{0} e_{x}$ est bien $(- e) E$ .

$E_{p} (x) = - \frac{q ^{2}}{∣ x ∣} - e E_{0} x .$

Étude de la courbe :

asymptote verticale $x = 0$ , avec $E_{p} \to - \infty$ des deux côtés ; asymptote oblique $E_{p} ≃ - e E_{0} x$ quand $∣ x ∣ \to \infty$ ;
pour $x < 0$ , $E_{p} = - q^{2} / ∣ x ∣ + e E_{0} ∣ x ∣$ croît de $- \infty$ à $+ \infty$ quand $x$ va de $0^{-}$ à $- \infty$ : c'est un mur, l'électron ne peut pas fuir vers les $x$ négatifs ;
pour $x > 0$ , $\frac{d E _{p}}{d x} = \frac{q ^{2}}{x ^{2}} - e E_{0}$ s'annule en $x_{m} = q^{2} / (e E_{0})$ , où $E_{p}$ est maximale : $E_{p} (x_{m}) = - 2 q^{2} e E_{0}$ . Au-delà, $E_{p}$ décroît vers $- \infty$ .

Le champ du laser incline le puits coulombien et crée, du côté $x > 0$ , une barrière de potentiel de sommet $- 2 q^{2} e E_{0}$ . Avec $E_{0} = 3 \times 1 0^{10} V \cdot m^{- 1}$ (Q9), $x_{m} \approx 2 \times 1 0^{- 10} m$ et le sommet est vers $- 13 eV$ .

Énergie potentielle de l'électron (unités réduites) : en trait plein, champ inférieur au champ de saturation (barrière au-dessus du niveau $- I_{P}$ ) ; en tirets, champ supérieur (plus de barrière).

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